中国教育学会中学数数学专业委员会.doc

中国教育学会中学数学数学专业委员会
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题


(共6小题,满分30分,每小题5分)
1.(5分)从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )

A.
B.
C.
D.
1

2.(5分)(2008•铜仁地区)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=,则△ABC的周长是( )

A.
28
B.
32
C.
18
D.
25
(5分)已知xy≠1,且有5x2+2011x+9=0,9y2+2011y+5=0,则的值等于( )

A.
B.
C.
D.
4.(5分)已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )

A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

5.(5分)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数在x=1时取最小值,则△ABC是( )

A.
等腰三角形
B.
锐角三角形
C.
钝角三角形
D.
直角三角形

6.(5分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’,堆栈(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )

A.
5种
B.
6种
C.
10种
D.
12种
(共6小题,满分30分,每小题5分)
7.(5分)设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为_________ .
8.(5分)(人教版考生做)如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,=4,BE=5,则DE的长为_________ .
8.(5分)(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则的值为_________ .

9.(5分)已知a2﹣a﹣1=0,且,则x= _________ .

10.(5分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有_________ 件.
11.(5分)如图,电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,若CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4m,,则电线杆AB的长为_________ 米.
12.(5分)若实数x,y,使得这四个数中的三个相同的数值,则所有具有这样性质的数对(x,y)为_________ .
(共4小题,满分80分,每小题20分)
13.(20分)已知:(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证:a=b=c
14.(20分)(2010•钦州)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为_________ ;用含t的式子表示点P的坐标为_________ ;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6);并求t为何值时,S有最大值?
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

15.(20分)对于给定的抛物线y=x2+ax+b,使实数p、q适合于ap=2(b+q)
(1)证明:抛物线y=x2+px+q通过定点;
(2)证明:下列两个二次方程,x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解.

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
参考答案与试题解析

(共8小题,满分160分,每小题20分)
1.(5分)从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率