廿一世纪的数学展望.ppt

廿一世纪的数学展望
丘成桐教授
浙江大学
哈佛大学
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数学
社会现象
工程现象
物理现象
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数学和工程科学是社会科学的基础
理论物理是工程科学的基础
数学是理论物理的基础
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人类科技愈进步愈能发现新现象
种种繁复现象使人极度迷惘
(例如︰湍流问题、黑洞问题)
但是主宰所有现象变化的只是几个少数的基
本定律。
Standard model (标准模型)
统一了三个基本场︰电磁场、弱力、强力
但是重力场和这三个场还未统一
物理学上的统一场论
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重力场由广义相对论描述,是狭义相对论和牛顿力学的统一理论而形成的。
这是爱因史丹最富有想象力的伟大创作。
爱因史丹方程是

其中 gij 是测度张量(引力场),Tij 是物质张量
Rij i曲率张量
黎曼几何学从这个方程进入到物理学的核心部分︰
时空的变化
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弦理论希望统一重力场和其他所有场。
在廿一世纪,基本数学会遇到同样的挑战︰
基本数学会朝统一的方向发展,只有在各门
分支大统一后,这些分支才会放出灿烂的火
花,而我们才会对这些学问得到本质性的了
解。
数学上的统一?
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数学的大统一将会比物理的大统一来得基
本,也将由统一场论孕育而出。
弦论的发展已经成功地将
微分几何
代数几何
群表示理论
数论
拓扑学
相当重要的部分统一起来。数学已经由此得
到丰富的果实。
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大自然提供了极为重要的数学模型,物理学和工程学上很多模型都是从物理直觉或从试验观察出来的。但是数学家却可以从自己的想象,在观察的基础上创造新的架构。
成功的数学架构往往是几代数学家共同努力得出的成果,也往往是数学中几个不同分支合并出来的火花。例如,Andrew Wiles的工作就是由椭圆曲线理论和Automorphic form理论,表示论和交换代数理论的合并得出来的结果。
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几何、数字(尤其是整数)和函数的架构可以说是数学里最直观的对象,因此在数学的大统一过程中会起着最要紧的作用。数学分析和代数则是研究这几门学问的主要工具,也是基本数学和应用数学的主要桥梁。
数学的对象和工具
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数学的发展由一个变量到多个变量,由一维到高维空间,由可换群到非交换群,由低次方程到高次方程,由线性方程到非线性方程,都是不可逆转的趋势。凡此种种,都随自然而生,始得华茂。有些数学家逆时发展一些数学结构,难以得到丰盛的果实。
数学的发展
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