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类比推理
一、教学目标:1. 结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义;
2. 能利用类比进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
二、课前小练
:“平行于同一条直线的两条直线互相平行”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题。
,类比列等比数列中,有结论。
,猜想向量相关的运算性质,并在括号内指出其真假。
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
,若,则. 类比到空间,你会得到什么结论?
三、创设情境
鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇;地球上有生命,火星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理.
引入概念:,像这样的推理,通常称为类比推理。
:
猜测新的结论
三、典型例题
例1类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.
【思路点拨】
在直角三角形的性质
猜想四面体中的结论
证明
类比


,并用圆的下列性质类比球的有关性质:
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦;
(2)与圆心距离相等的两弦相等;
(3)圆的周长是直径);
(4)圆的面积.
,射影定理可表示为,其中依次为角A、B、C的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想。
类比推理课后作业
,设其前n项和为Sn,则有,也成等差数列。
类比到等比数列中,得相应结论
“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为
,有勾股定理:“设的两边AB、AC互相垂直,则.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可能得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD”的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则_______ ______ _
,四面体是空间中由平面三角形围成的最简单的封闭图形,三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形,四面体可看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形,由此根据三角形的性质,推测空间四面体的性质,完成下表:
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心
{bn}中,若Tn是数列{n}的前项积,则