数学分析 数项级数.doc

第十二章数项级数
教学目的:;;,记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点:本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别;难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数:18学时
§ 1 级数的收敛性
一.       概念:
1.      级数:级数,无穷级数; 通项( 一般项, 第项), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为.
2.          级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想. 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.
例1 讨论几何级数的敛散性.(这是一个重要例题!)
解时, . 级数收敛;
时, 级数发散;
时, , , 级数发散;
时, , , 级数发散.
综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始).
例2 讨论级数的敛散性.
解(利用拆项求和的方法)
例3  讨论级数的敛散性.
解设,
,
=
, .
, .
因此, 该级数收敛.
例4 讨论级数的敛散性.
解, . 级数发散.
3.          级数与数列的关系:
对应部分和数列{ }, 收敛{ }收敛;
对每个数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有= . 于是,数列{ }收敛级数收敛.
可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式. 
4. 级数与无穷积分的关系:
, 其中. 无穷积分可化为级数;
对每个级数, 定义函数, 易见有
= . 即级数可化为无穷积分.
综上所述, 级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果. 可以用其中的一个研究另一个.
二.            级数收敛的充要条件—— Cauchy准则:把部分和数列{ }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言, 就得到级数收敛的Cauchy准则.
Th ( Cauchy准则) 收敛和 N, .
由该定理可见, 去掉或添加上或改变( 包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变. 去掉前项的级数表为或.
系( 级数收敛的必要条件) 收敛.
例5 证明:级数收敛.
证显然满足收敛的必要条件. 令, 则当时有
应用Cauchy准则时,应设法把式| |不失真地放大成只含而不含的式子,令其小于,确定.
例6 判断级数的敛散性.
( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)
例7  ( 但级数发散的例) 证明调和级数发散.
证法一( 用Cauchy准则的否定进行验证)  
三. 收敛级数的基本性质:( 均给出证明)
性质1 收敛, — Const 收敛且有=
性质2 和收敛, 收敛, 且有
= .
性质3 若级数收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.
§ 2 正项级数
一. 正项级数判敛的一般原则:
1.          正项级数: ↗; 任意加括号不影响敛散性.
2.          基本定理:
Th 1 设. 则级数收敛. 且当发散时, 有, . ( 证)
3.          正项级数判敛的比较原则:
Th 2 设和是两个正项级数, 且时有, 则
ⅰ> 收敛, 收敛;
ⅱ> 发散, 发散.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题)
例1  考查级数的敛散性.
解有
例2 设. 判断级数的敛散性.
推论1 ( 比较原则的极限形式) 设和是两个正项级数且,则
ⅰ> 时, 和共敛散;
ⅱ> 时, 收敛, 收敛;
ⅲ> 时, 发散, 发散. ( 证)
二.            正项级数判敛法:
1. 检比法: 亦称为 D’alembert判别法.
用几何级数作为比较对象, 有下列所谓检比法.
Th 3 设为正项级数, 且及时
ⅰ> 若, 收敛;
ⅱ> 若, 发散.
证ⅰ> 不妨设时就有成立, 有
依次相乘, , 即
. 由, 得收敛, 收敛.
ⅱ> 可见往后递增, .
推论( 检比法的极限形式) 设为正项级数, 且. 则ⅰ> < , 收敛; ⅱ> > 或= , 发散. ( 证)
例4 判断级数 

的敛散性.
解, 收敛.
例5 讨论级数的敛散性.
解.
因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散
2. 检根法( Cauchy 判别法): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.