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平均值不等式
摘要:介绍了一些常见的平均值不等式的运用技巧,并分别举出与其对应的例题.
关键词:平均值不等式;运用技巧;例题
平均值不等式是高中数学不等式一章中的最基础、应用最广泛的灵活因子,它是考查学生素质能力的一个窗口,是高考和竞赛的热点,它在数学领域有非常重要的作用.
因此,本文总结了一些常见平均值不等式的运用技巧,并对相关技巧分别举例.
平均值不等式是不等式的重要内容之一,在不等式证明有广泛的应用,但是在处理有关平均值不等式的证明问题时,并非每一个问题都可以看出它是否可以使用均值不等式,.
一、拆项法
注意到使用n次平均值不等式的前提必须是有n个和项或积项(注:在高中阶段只要求n=2或n=3两种情况),有时题设不具备n个项,这时我们可以考虑把一项或几项进行分拆,产生n个项,以创造均值不等式的使用环境.
>b>0,求证a+■≥3.
证明:由a>b>0知,a-b>0,■>0,
于是a+■=(a-b)+b+■≥3■=3
当且仅当b=a-b=■,即a=2,b=1时等号成立.
二、添项法
对不具备使用平均值不等式条件的关系式,添加一些关系式,创造均值不等式使用环境,也是一种常用手段.
,x2…,xn都是正数,求证:■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn
(1984年全国数学竞赛试题)
分析:由于左右两边均为和和式,直接使用均值不等式受阻,所以必须对原关系式填项,其目的一是去分母,二是降次.
证明:由x1,x2∈R+,知■+x2≥2■=2x1
同理可得■+x3≥2x2…,■+xn≥2xn-1,■+x1≥2xn
将这n个不等式两边分别相加,得到
所以■+■+…+■+■+(x2+x3+…+xn+x1)≥2(x1+x2+…+xn)
所以■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn
三、减项法
多元轮换对称不等式,常可利用减元或减项的方法化为二元不等式,创造使用均值不等式的环境,然后轮换相加,以达到证明目的.
、b、c∈R+,求证:■+■+■≥■+■+■.
分析:考虑到待证不等式为三元轮换对称不等式,减元c,即为■+■≥■,由此不等式轮换相加即可.
证明:因为a、b、c∈R+,所以:■+■≥2■=■≥■
同理可证■+■≥■,■+■≥■
三个不等式相加即得:■+■+■≥■+■+■
四、代换法
此方法多用于含三角函数的题,可想办法将其用变量代换.