高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案 新人教A版选修4-1.doc

四直角三角形的射影定理
,会画出点和线段的射影.
,并能解决有关问题.

从一点向一条直线所引垂线的______,,.
【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是( )



文字
语言
直角三角形斜边上的____是两条直角边在斜边上射影的比例中项;两条直角边分别是它们在______上射影与斜边的比例中项
符号
语言
在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于D,则CD2=________;AC2=________;BC2=________
图形
语言
作用
确定成比例的线段
(1)勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
(2)面积关系:AC·BC=AB·CD=2S△ABC,==.
【做一做2-1】如图所示,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于D,且CD=4,则AD·DB等于( )


【做一做2-2】如图所示,Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影为D,且AC=3,AD=2,则AB=__________.
答案:

【做一做1】D 当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不可能是直线.
BD·AD AD·AB BD·BA
【做一做2-1】A ∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AD·DB=CD2.
又CD=4,∴AD·DB=42=16.
【做一做2-2】∵AC⊥CB,
又D是C在AB上的正射影,
∴CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.
又AC=3,AD=2,∴AB==.
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图所示,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于D,则由射影定理可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,
即AC2+BC2=AB2.
由此可见,,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简捷明快,比面积法要方便得多.
题型一与射影定理有关的计算问题
【例题1】若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长.
分析:用射影定理求出AD,从而求出DB,再用射影定理求出CD.
反思:(1)本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
(2)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,,直角三角形中的六条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.
题型二与射影定理有关的证明问题
【例题2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分