Matlab拟合曲线.ppt

拟合
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拟合

1. 拟合问题引例
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拟合问题引例 1
温度t(0C)
电阻R() 765 826 873 942 1032
已知热敏电阻数据:
求600C时的电阻R。
设 R=at+b
a,b为待定系数
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拟合问题引例 2
t (h) 1 2 3 4 6 8
c (g/ml)
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
MATLAB(aa1)
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曲线拟合问题的提法
已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。
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+
+
+
+
x
y
y=f(x)
(xi,yi)
i
i 为点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
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拟合与插值的关系
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者的数学方法上是完全不同的。
实例:下面数据是某次实验所得,希望得到X和 f之间的关系?
)
问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面
解决方案:
若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象整体的变化趋势,这就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合。
若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题;
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曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) (1)
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则(最小二乘准则):
使n个点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小。
记
问题归结为,求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
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线性最小二乘法的求解:预备知识
超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组
即 Ra=y
其中
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
如果有向量a使得达到最小,
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
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线性最小二乘法的求解
定理:当RTR可逆时,超定方程组(3)存在最小二乘解,且即为方程组
RTRa=RTy
的解:a=(RTR)-1RTy
所以,曲线拟合的最小二乘法要解决的问题,实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
其中
Ra=y (3)
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线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函数{r1(x), …rm(x)}的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x);
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f=a1+a2x
f=a1+a2x+a3x2
f=a1+a2x+a3x2
f=a1+a2/x
f=aebx
f=ae-bx
2. 将数据(xi,yi) i=1, …n 作图,通过直观判断确定 f(x):
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