矩阵分析课件chapt3 矩阵分析及其应用例题详解.doc

矩阵分析及其应用
矩阵序列
设矩阵序列{A(k)},其中A(k)=()ÎCn´n,当k®¥,
®aij时,称矩阵序列{A(k)}收敛,并称矩阵A=(aij)为矩
阵序列{A(k)}的极限,或称{A(k)}收敛于A, 记为
或 A(k)® A
不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义,矩阵序列A(k) 发散的充要条件为存在ij使
得数列发散。
类似地,我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义
' 矩阵序列{A(k)}收敛的充要条件为
对任给e>0 存在N(e), 当 k, l ³ N(e) 时有
||A(k)-A(l)|| < e
例1
如果直接按定义我们因为求不出A(n)的极限从而
。
相反,由于
< 1/m
从而只要l充分大,则当m, n > l 时就有
这样A(l) 收敛。
A(k)® A的充要条件为
||A(k) -A||®0
证明:利用矩阵范数的等价性定理,仅对¥范数可以证明。
即 c1 ||A(k) -A|| £ ||A(k) -A||¥£ c2 ||A(k) -A||
性质0 若A(k)® A, 则||A(k)|| ® ||A|| 成立。
性质1. 设A(k)® Am´n,B(k)® Bm´n, 则
a× A(k)+b × B(k) ® a× A+b × B, " a,bÎC
性质2. 设A(k)® Am´n,B(k)® Bn´l, 则
A(k) ×B(k)® A×B
证明:由于矩阵范数地等价性,我们可以只讨论相容的
矩阵范数。
||A(k) ×B(k)-A×B|| £ || A(k) ×B(k) -A×B(k)||+||AB(k)- A×B||
£ || A(k) -A||×||B(k)||+||A||×||B(k)-B||
注意|| A(k) ||®||A||, ||B(k)||®||B||, 则结论可得。
特别地有
性质2’. A(k)® A的充要条件为
A(k) x®Ax, 对任意x成立
(在无穷维空间中称为弱收敛,但在有限维空间中
和一般收敛性定义是等价的)
性质3设A(k)和A都为可逆矩阵,且A(k)® A,则
(A(k))-1® A-1
证明: 因为A-1× (A(k)) ®I. 所以存在K,当k>K时有
||I- A-1× (A(k))||<1/2
我们有(A(k))-1= A-1+( I- A-1× (A(k))) (A(k))-1
从而||(A(k))-1||£||A-1||+||( I- A-1× (A(k)))||×|| (A(k))-1||
当k>K时,有
||(A(k))-1||£||A-1||+1/2×|| (A(k))-1||
即||(A(k))-1||£2×||A-1||
因为A-1- (A(k))-1= A-1 (A(k)- A) (A(k))-1
从而|| A-1- (A(k))-1||£||A-1||×||A(k)- A||×||(A(k))-1||
(当k>K时) £||A-1||×||A(k)- A||×2||A-1||
(当k®¥时) ®0
(A(k))-1® A-1
{A(k)}称为有界的,如果存在常数
M>0,使得对一切k都有
||<M 或等价的|| A(k)||<M’
定理:有界的矩阵序列{A(k)}一定有收敛的子列。
设A为方阵,且当k®¥时有Ak®0,则称A为
收敛矩阵。
(迭代法基本定理) Ak®0的充要条件为谱半径
r(A)<1.
证明:必要性:设Ak®0,证明r(A)<1.
对A的任意特征值l和相应的特征向量x有
lx=Ax.
这样我们有Akx=lkx
从而有|l|k ×||x||=||Akx||£||Ak||×||x||
从而有|l|k£||Ak||®0
这样有|l|<1, 由于l为A的任意特征向量,
所以r(A)<1, 即必要性得证。
充分性。已知r(A)<1,证明Ak®0.
取e=(1-r(A))/2 >0,,存在某种相容的
矩阵范数||.||M使得||A||M< r(A)+ e <1
从而||Ak|| M£(||A||M)k<(r(A)+ e)k
所以当k®¥有||Ak|| M ®0, 从而Ak®0.
Ak®0的充分条件为存在矩阵范数||.||M使得
||A||M <1

{A(k)},其中A(k)=()ÎCn´n,由它们
形成的无穷和 A(0)+A(1)+…+A(k)+…称为矩阵级数,
记