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曲线积分与曲面积分的计算
080122011014 工程管理孟令清
一、第一类曲线积分的计算:
设有光滑曲线, . 是定义在
上的连续函数. 则
. ( 证) [1]P357
若曲线方程为: , 则
.
的方程为时有类似的公式.
例题:计算积分, 其中是球面被平面
截得的圆周. [1]P359 E3
解由对称性知, ,
=. ( 注意是大圆)
二、第二类曲线积分的计算:
曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.
设L为光滑或按段光滑曲线, L : .
A, B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有
.
(一)Green公式:
若函数P和Q在闭区域DR上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
,
其中L为区域D的正向边界.
应用举例:
对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成
环路积分的技巧.
例题:计算积分, 其中AB. 曲线AB为圆周
在第一象限中的部分.
解法一( 直接计算积分) 曲线AB的方程为.
方向为自然方向的反向. 因此
.
解法二( 用Green公式) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点), 成闭路. 设所围
区域为D, 注意到D为反向, 以及, 有
.
(二)曲线积分与路线无关性:
积分与路径无关的等价条件:
设DR是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有
连续的一阶偏导数, 则以下四个条件等价:
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有.
ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关.
ⅲ> 是D内某一函数的全微分, 即在D内有.
ⅳ> 在D内每一点处有.
三、第一类曲面积分的计算:
,
则.
四、第二型曲面积分的计算:
设是定义在光滑曲面
D
上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即),