第一章矢量分析与场论基础题解.doc

矢量分析与场论基础
求下列温度场的等温线
1),2)
解求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得
⑴,;⑵
求下列标量场的等值面
1),2), 3)
解据题意可得
⑴
⑵,
⑶,,
求矢量场经过点的矢量线方程。
解根据矢量线的定义,可得
解微分方程,可得,
将点的坐标代入,可得,
即, 为所求矢量线方程。
求矢量场的矢量线方程。
解根据矢量线的定义,可得
解微分方程,可得, 为所求矢量线方程。
设,求:
1)在点处沿矢量方向的方向导数,
2)在点处沿矢量方向的方向导数。
解的方向余弦为,,;
又有,,
据方向导数的定义,可得
求标量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
解的方向余弦为,,;
又有,,
据方向导数的定义,可得
设有标量场,求在点处沿该点至方向的方向导数。在点沿什么方向的方向导数达到最大值?其值是多少?
解点至点的方向余弦为,,;
又有,,
据方向导数的定义,可得
当方向余弦均为1时,方向导数达到最大值,即沿方向导数达最大值,
求下列标量场的
1);2);3);
4); 5)
解据,可得
求标量场在点处的梯度。
解,则所求梯度为
求标量场具有最大方向导数的点及方向,所求的点满足。(提示:最大的方向导数就是在点处的梯度,模最大,且满足,即求条件极值。)
解,,将代入,可得,即,
当、时,有,即点和为满足条件的点,又,,即最大方向导数的方向分别为
设为正整数,
1)求
2)证明是常矢量)
解 1)



证明设,则,
因此,可得,证毕。
设S为上半球面其法向单位矢量与轴的夹角为锐角,求矢量场沿所指的方向穿过S的通量。(提示:注意与同向)
解将用球坐标表示,则在面上有,因此,可得
求均匀矢量场通过半径为的半球面的通量。(如图1-1所示)
解设半球面的方程为则矢量通过面的通量等于矢量通过面在的平面上的投影的通量,因此,
计算曲面积分,其中是球心在原点,半径为a的球面外侧。
解设,根据散度定理,可得
求矢量场从内穿出所给闭曲面的通量:
1),为球面
2),为椭球面
解 1) 根据散度定理,可得
求下列空间矢量场的散度:
1)
2)
解 1)
求在给定点处的值:
1)在M(,,-)处;
2) ,在M(,,)处;
3)在M(,,)处。
解 1) ,则
,则
,