线代总结1线性代数中的线性方程组.doc

线代总结1 线性代数中的线性方程组
第四节线性方程组的解
:
(Ⅰ)
还可表示为 Ax=b,
其中被称为系数矩阵。
称为增广矩阵。
,
当b =0时,称方程组Ax=0为齐次线性方程组,
当b≠0时,称方程组Ax=b为非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是,是非齐 次线性方程组。
如的系数矩阵是,是齐次线性方程组。
第一章介绍了利用行列式的性质来讨论线性方程组的解,下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。
定理5 设线性方程组(Ⅰ)的增广矩阵可由初等变换化为,则Ax=b与Bx=d是同解的方程组
注意:如果是齐次线性方程组b =0,只需对其系数矩阵进行初等变换换。
定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组,首先将其系数矩阵A或增广矩阵施以初等行变换化简成为行最简形矩阵,再利用系数矩阵的秩数讨论其解。下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。
1. 齐次线性方程组的解
定理6 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R(A)<n 。
证明:必要性
已知方程组Ax=0有非零解,用反证法证明。设R(A)=n,则在A 中必有一个n阶非零子式,从而所对应的n个方程只有零解,这与已知矛盾。
因此R(A)≠n,即R(A)<n。
充分性
已知R(A)=r<n,则A的行最简形矩阵只含r个非零行,其余n-r行都为零,这n-r个行所对应的变量是自由变量,可以任意取值,所以,可知方程组有非零解。
例7 求解线性方程组
解:系数矩阵
将A施以初等行变换
可知R(E)=3,方程组Ex=0只有零解。
又知方程组Ax=0与Ex=0是同解的,所以Ax=0只有零解。
例8 求解齐次线性方程组
解:系数矩阵
将A施以初等行变换
B为最简形矩阵,R(B)=2〈3,由定理6知,方程组Bx=0有非零解
B所对应的方程组为
这个方程组中有4个未知量,两个方程,故应有4-2=2个自由未知量。
用向量表示为
此解是方程组Bx=0的通解,再由定理5知,它也是方程组Ax=0的通解。
2. 非齐次线性方程组解
对于非齐次线性方程组
如果系数矩阵A是可逆矩阵(或满秩矩阵),其解为
如果系数矩阵A是非满秩矩阵,其解的情况较复杂,可能无解,可能有唯一解,也可能有无穷多解。
定理7 对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R(A)= R
当R(A)=R=n时,方程组有唯一解
当R(A)=R <n时,方程组有无限多解
当R(A)<R时,方程组无解
证明:必要性
已知方程组Ax=b 有解,用反证法证明。设R(A)<R,则将化为行最简形矩阵,可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1,这与方程组有解相矛盾,因此R(A)=R
充分性
当R(A)=R=n时,方程组没有自由未知量,只有唯一解。
当R(A)=R <n时,将化为行最简形矩阵可知,方程组有n-r个自由未知量,可令它们分别取则方程组解中含有n-r个任意常数,因而,有无穷多个解。
当R(A)<R时,可得方程组无解。证毕。
求解非齐次线性方程组,只要将增广矩阵化为行阶梯形矩阵,即可判断其是否有解;若有解,再进一步将化为行最简形矩阵,写出其通解。
例9 求解