考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结.doc

考研——积分上限的函数(变上限积分)知识点
形如上式的积分,叫做变限积分。
注意点:
1、在求导时,是关于x求导,用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时,则把x看作常数,积分变量在积分区间上变动。
(即在积分内的x作为常数,可以提到积分之外。)
关于积分上限函数的理论
定理1如果在上连续,则在(a,b)上可积,而可积,则在上连续。
定理2如果在上有界,且只有有限个间断点,则在(a,b)上可积。
定理3如果在上连续,则在上可导,而且有
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注:(Ⅰ)从以上定理可看出,对作变上限积分后得到的函数,性质比原来的函数改进了一步:可积改进为连续;连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道,可导函数经过求导后,其导函数甚至不一定是连续的。
(Ⅱ)定理(3)也称为原函数存在定理。它说明:连续函数必存在原函数,并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道,求原函数是求导运算的逆运算,本质上是微分学的问题;而求定积分是求一个特定和式的极限,是积分学的问题。定理(3)把两者联系了起来,从而使微分学和积分学统一成为一个整体,有重要意义。
重要推论及计算公式:
推论1 <变上限积分改变上下限,变号。>
推论2 <上限是复合函数的情况求导。>
推论3 <上下限都是变的时候,用上限的减去下限的。>
题型中常见积分限函数的变形和复合情况:
(1)比如
(被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)
在求时,先将右端化为的形式,再对求导。分离后左边的部分要按照(uv)'=u'v + uv'进行求导!(重点)
(2)比如
( f 的自变量中含x, 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)
在求时,先对右端的定积分做变量代换(把看作常数),此时,,时,;时,,这样,就化成了以作为积分变量的积分下限函数:,然后再对x求导。
( 3 ) 比如
(这是含参数x的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去)
在求时,先对右端的定积分做变量代换(把看作常数),此时,,时,;时,,于是,就化成了以作为积分变量的积分上限函数:,然后再对x求导。
有积分限函数参与的题型举例
极限问题:
例1 (提示:0/0型,用洛必达法则,答:12)
例2 (提示:洛必达法则求不出结果,用夹逼准则,0=<|sinx|=<1。答:
)
例3 已知极限,试确定其中的非零常数
(答:)
求导问题
例4 已知求(参数方程,你懂的!答:)
例5 已知求(答: )
例6 求(答: )
例7 设在内连续且求证在内单调增加. (同济高数课本Unit5-3例题7)
最大最小值问题
例8 在区间上求一点, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.
O
e
y = ln x
x
y
1
1
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:, 然后求出,再求出其驻点. 答:.)
例9 设,为正整数. 证明的最大值不超过(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
(4) 积分问题
例10 计算,其中.
(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取为积分上限函数. 答: