2024届贵阳市一中高三数学上学期开学检测考试卷附答案解析.pdf

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为直线AD与平面DEF所成的角,大π??m??3,1,0?小为;B选项,作出辅助线,建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出平面ADE的法向量,3??????得到CF?m??3?0,B错误;C选项,利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值;D选项,求出球的半径,得到四面体O?ABC为正四面体,棱长为1,求出O到平面ABC的距离,:..【详解】A选项,因为托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成,所以平面ADE⊥平面DEF,过点A作AG⊥ED于点G,因为平面ADE?平面DEF?DE,所以AG⊥平面DEF,π故?ADG即为直线AD与平面DEF所成的角,大小为,A正确;3B选项,过点C作CH⊥DF于点H,同A选项,可证明CH⊥平面DEF,所以CH//AG,由三线合一可得G,H分别为DE,DF的中点,故CH?AG?3,连接HG,AC,AB,BC,则四边形ACHG为平行四边形,故GH?AC?1,同理可得AB?BC?1,连接HE,则HE⊥DF,HD,HE,HCx,y,z以H为坐标原点,分别以为轴,建立空间直角坐标系,?13?????A,,3,D?1,0,0?,C0,0,3,F??1,0,0?,E0,3,0则????????,22????平面ADE的法向量设为m??x,y,z?,???????13?13?m?AD??x,y,z??,?,?3?x?y?3z?0?????2222则???,????????m?DE??x,y,z???1,3,0??x?3y?0??????m??3,1,0?令y?1得x?3,z?0,故,??????CF?m???1,0,?3???3,1,0???3?0又,????????故直线CF与m?3,1,0不垂直,故直线CF与平面ADE不平行,B错误;9:..?13???????????,,31,0,31???????3????????22??AD?CF??25C选项,cosAD,CF????????????,AD?CF132?28??3?1?0?3445故异面直线AD与CF所成的角的余弦值为,C错误;8D选项,由B选项可知,AB?BC?CA?1,设O为球心,球半径为R,4πR34π由?,解得R?1,则O?ABC为正四面体,棱长为1,33设Q为?ABC的中心,则OQ⊥平面ABC,又CQ?平面ABC,23?3?6所以OQ⊥CQ,CQ?,则OQ?12??,????????333??6又AG?3,所以球离球托底面DEF的最大距离为3??1,:【分析】由题意f(a)?f(lnb)?0结合f(x)的单调性易得a?lnb,根据已知零点判断A、C;应用零点存在性判断a的范围,由a2?b2?a2?(2?a)2求范围判断B;放缩法可得eb?lna??ln3,?ln3,3的大小关系判断D.【详解】由题意ea?a?2?elnb?lnb?2?0,即f(a)?f(lnb)?0,而f(x)?ex?x?2在定义域上递增,故a?lnb,所以ea?lnb?2?a?b?2?0,即ea?lnb?a?b?2,A对,C错;10:..3511511311由()2?e?()3,f()?e3??0,f()?e2??0,故零点x?a?lnb?(,),23332232126所以a2?b2?a2?(2?a)2?2a2?4a?4?2(a?1)2?2?2?(?1)2?2??3,B对;3911131由a?(,),则eb?lna?e2?a?lna?e2?a?ln?e2?ln?e3?ln3?20?ln3??ln3,32337e575,,显然e?3e?3,?ln3?3?0,?????53综上,eb?lna?3,:ABD【点睛】关键点点睛:注意函数形式得到f(a)?f(lnb)?0,结合单调性得到a?lnb,进而有ea?lnb?a?b?【分析】利用两角和的正切公式计算.?1?tan10???1?tan35???1?tan10??tan35??tan10?tan35?【详解】?1?tan?10??35????1?tan10?tan35???tan10?tan35?2=,?1?tan11???1?tan34???2同理可得,所以原式?:【分析】根据二项分布的概率公直接求解即可?1?1【详解】???B4,表示做了4次独立实验,每次试验成功概率为,???3?312228??????P??2??C2???,4?????3??3?278故答案为:【分析】构造数列?a?a?,?1n【详解】高阶等差数列?a?:1,2,4,7,11,16,22,L,n令b?a?a,则数列?b?:1,2,3,4,5,6,L,nn?1nn则数列?b?为等差数列,首项b?1,公差d?1,b?n,则a?a?nn1nn?1n11:..a??a?a???a?a???a?a?????a?a??a则20201919**********(19?1)??19?18?17???1??1??1?191,2故答案为:191n【点睛】关键点睛:根据等差数列的前项和公式,.##555AF,BF,BF,AF关于a,m【分析】利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到的表达式,从而利2211a?ma,c用勾股定理求得,进而利用余弦定理得到的齐次方程,从而得解.【详解】依题意,设AF?2m,则BF?3m?BF,AF?2a?2m,2211在Rt?ABF中,9m2?(2a?2m)2?25m2,则(a?3m)(a?m)?0,1故a?m或a??3m(舍去),所以AF?4a,AF?2a,BF?BF?3a,则AB?5a,1221AF4a4故cos?FAF?1??,12AB5a516a2?4a2?4c24所以在△AFF中,cos?FAF??,整理得5c2?9a2,12122?4a?2a5c35故e??.a535故答案为:.5【点睛】关键点睛:双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程,.(1)b?2n?1nn(2)T?n2n?112:..【分析】(1)根据给定条件,求出数列{a}(2)由等差数列前项和公式求出,【详解】(1)正项等比数列{a}的公比为,由a?aq2,得q2?4,n31而q?0,解得q=2,于是a?aqn?1?2n?1,n1由b?loga?loga,得b?log2n?1?log2n?2n?1,n2n2n?1n22所以数列?b?的通项公式b?2n??(2n?1)(2)由(1)知,b?2n?1,显然数列?b?是等差数列,S??n?n2,nnn2111111c????(?)n,4S?14n2?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n11111111n所以T?[(1?)?(?)???(?)]?(1?)?.n23352n?12n?122n?12n?1318.(1)cosC?29(2)8【分析】(1)根据正弦定理边角互化可得a2?bc?c2,进而结合余弦定理可得b?2c,故a?3c,从而得?ABC是直角三角形,即可求解,(2)根据和差角公式以及三角函数的性质可得A?2C,即可结合余弦二倍角公式求解.【详解】(1)由正弦定理可知a:b:c?sinA:sinB:sinC?sinB?sinC?sin2A?sin2C?bc?a2?c2?a2?bc?c2由余弦定理可得a2?b2?c2?2bc?cosA故c2?bc?b2?c2?2bc?cosA,化简得b?c(1?2cosA)π代入A?,可得b?2c,故a2?2c2?c2?a?3c,3所以b2?a2?c2,则?ABC是直角三角形,3故cosC?sinA?.2(2)由(1)知b?c(1?2cosA),根据正弦定理得sinB?sinC(1?2cosA),又sinB?sin(A?C),所以sinAcosC?cosAsinC?sinC?2cosAsinC,化简可得sinAcosC?cosAsinC?sinC,即sin(A?C)?sinC13:..0?C?π?π??C?0A?C???π,π??0?A?π,,则,则,?A?C?C,或A?C?C?π,所以A?2C或A?π(舍去),则cosA?sinC?cos2C?sinC??2sin2C?sinC?119??2(sinC?)2?48由A、B、C?(0,π)可得0?2C?π,则0?π?3C?π,π3解得0?C?,则0?sinC?,3219所以当sinC?时cosA?.(1)1?AC2117(2)7【分析】(1)连接BC交BC于点E,连接DE,利用线面平行的性质得AB//DE,再利用中位线性质111即可得到比值;(2)建立合适的空间直角坐标系,求出两平面的法向量即可得到面面角的余弦值.【详解】(1)如图,连接BC交BC于点E,//平面BCD,AB?平面ABC,平面ABC?平面BCD?DE,11111111所以AB//DE,为平行四边形,111所以E是BC的中点,所以D为AC的中点,111AD1所以1?.AC211(2)因为AB?平面BCD,所以点A到平面BCD的距离等于点到平面BCD的距离,1111B1连接AC,114:..11则V?V?V??AD?B?BCDA?BCDC?ABD321**********???23?BD?4?,所以BD?,连接OB,?BC,则OB?AC,同理BD^,OB,ODxyzO?xyz以O为坐标原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,????????????则A23,0,0,B0,2,0,A23,0,4,B0,2,4,C?23,0,0,D0,04,11?????????????????AB???23,2,0?,AB???23,2,?4?,BC???23,?2,?4?BD??0,?2,0?所以,.111?设平面ABBA的法向量为n??x,y,z?,11111?????????AB?n?0,?????23x?2y?0,?11??由?????得?取x?1,则n?1,3,0,?1?AB?n?0,??23x?2y?4z?0,?1?111?设平面BCD的法向量为m??x,y,z?,1222??????BC?m?0,?????23x?2y?4z?0,????1x?2由??????得?222取,则m?2,0,?3.?2BD?m?0,??2y?0,?????21??27所以cosm,n??,.(1)?y?;y?(2)【分析】(1)用最小二乘法求解回归直线方程,再求非线性回归方程即可;(2)根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.【详解】(1)将y?cxd两边取对数,得lny?lnc?dlnx,设z?lny,t?lnx,则回归方程变为z?lnc?dt,15:..110110z??z???t?,,,10i10ii?1i?110?tz?10t·?10???????,ln$c?z?$dt????1,?10??t2?10t2ii?1所以$z?1?,即lny??1??lne??,?y?,故y关于x的回归方程为当x?25mg时,y??e???5??,?(2)因为z服从正态分布,其中??,??,所以P???2??z???2???P??z???,1?P??z??1??z?????,.(1)?y2?1415(2)?3【分析】(1)利用斜率乘积建立方程,把点代入求解椭圆方程;(2)先求出点E,F的坐标,然后求出线段比例,最后代入三角形面积公式化简求解即可.【详解】(1)设E?x,y?,依题意A?0,b?,B?0,?b?,y?by?by2?b21x2y2可得k?k?????,整理可得??1,EAEBx?0x?0x244b2b2x2又椭圆C过点??2,0?,所以b2?1,故椭圆C的方程为?y2?1;41x2(2)依题意,可知AM:y??x?1,代入椭圆方程?y2?1,2m4?4mm2?1??m2?1?x2?4mx?0E,整理得,从而得到??,m2?1m2?1??3x2又BM:y?x?1,代入椭圆方程?y2?1,2m4?12m9?m2??m2?9?x2?12mx?0F,整理得,从而得到??,m2?9m2?9??16:..MAmm2?1m2?1???所以ME4m4?m2?13?m2,?mm2?112m?mMFm2912?m2?93?m2?,???MBmm2?9m2?91AM?MF?sin?AMFSAM?MF2则?AMF??S1BM?ME?BMEBM?ME?sin?BME2