一维定态性质.doc

一维定态问题
§ 一维定态的一般性质
性质1、当为实函数时,一维定态波函数可取为实函数。
证明:分能级无简并和有简并两种情况
能级无简并
对应能级,只有一个独立的本征波函数。
设为与对应的本征波函数

取复共轭,因,则

也是与对应的本征波函数。
因无简并,则

可取,即可取为实函数。
能级有简并
对应某一能级,有两个或两个以上独立的本征波函数。
例如氢原子能级:,波函数:
, 简并度:.
设集合为与对应的本征波函数

取共轭得

集合也是与对应的本征波函数。
只要中有一个波函数,例如不是实函数,那么就可用实函数或来取代,最后总能组合成一组实函数。
所以,当为实函数时,一维定态波函数可取为实函数。
下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。
空间反射变换:用算符代表空间反射变换

本征方程:
可以证明为实数。只有当为实数时上述方程才是本征方程。因为按照基本假定,本征值与测量值相对应,而测量值总是实数。
宇称(parity):空间反射变换算符的本征值.
宇称的可能取值:




即
空间反射不变的波函数具有正宇称。空间反射变号波函数具有负宇称。还有一些波函数没有确定的宇称, 它们不是空间反射算符的本征态。
[思考] 证明宇称为实数。
[提示] 只要证明:
性质2、设,即具有空间反射不变性。(1) 对于无简并的能级,定态波函数必有确定的宇称。(2) 若能级有简并,则总可以找到一组简并的定态波函数,其中每一个波函数都有确定的宇称。
证明:
能级无简并
设是与能级对应的本征波函数

作空间反射变换。因, 空间反射不变,则

也是与对应的本征波函数。因无简并,则

即具有确定的宇称。
能级有简并
设集合是与能级对应的本征波函数

空间反射得

集合也是与对应的定态波函数。
只要中有一个无确定宇称的波函数,例如,就可用有确定宇称的组合来取代,即,最后总能组合成一组具有确定宇称的解。
总之,若空间反射不变,则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级,总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。
[例题] 对于自由粒子,为实函数,且具有空间反射不变性。的本征值是二度简并的,对应两个独立的定态波函数

它们不是实函数,也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数

它们具有确定宇称

性质3、如果和都是与能级对应的本征波函数,则有。
而对于束缚态(bound state ,)则为
.
证明:
(1)
(2)


若和为束缚态, 即,;
则有

性质4、规则的势场(无奇点)中的一维束缚态必定无简并。
证明:设和为与能级对应的两个束缚态

在和的零点之外的区域,由上式可得
能级无简并。
[思考] 证明:若规则势场为实函数时,则一维束缚态的概率流密度为零。物理上如何理解?
性质5、如图所示,束缚态的能量满足条件
,
其中,代表势能的最小值;而代表势能在外区(包括点)的最小值。
证明:
(1)成立
外区:
若,则外区解,显然不是束缚态,,成立。
(2)成立
能量是的平均值
其中.
而
这里
所以成立。
总之,束缚态的能量满足条件: .
性质6、在点,若连续或发生阶梯形跃变,则波函数的一阶导数连续;若间断且为无限大,则不连续,其连接条件可由在点的性质推导得到。
证明:不含时薛定格方程

积分且取极限:
在点,若连续或阶梯形跃变
即在点,连续。
否则,例如对于势阱: