武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析 毕业论文.doc

本科毕业论文
题目: 武汉大学近十年量子力学
部分考研真题的分类解析
学院:
班级:
姓名:
指导教师: 职称:
完成日期: 年月日
武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析
摘要: 量子力学是大学物理学本科学生的必修课,同时它也是国内许多知名高校的物理学研究生入学考试的必考科目。本文将武汉大学2002年—2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类透析,给出了标准解法。并在此基础上提炼出解题模型,提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。
关键词: 量子力学;考研真题;模型
目录
1 真题的分类解析 4
4
势的散射 5
6
6
势求解 6
初值问题求解 8
9
三维束缚态问题 10
无限深球方势阱基态求法 10
盒子势求解 12
两个角动量算符有关题目求解 12
轨道角动量算符 12
自旋角动量算符 14
表象理论相关****题求解 17
近似理论的应用 19
非简并定态微扰 19
简并定态微扰 20
21
2 重要解题模型 23
23
24
24
24
3 总结 24
前言:量子力学……①②③
1 真题的分类解析
在该部分,给出了真题的分类求解,并根据笔者学****量子力学时学****的深度排序。同时为了丰富文章的内容又加入一部分其他****题。该篇是本文的重点和主体。



(2002年)粒子以能量E由左向右对阶梯势垒入射,求透射系数。讨论如下三种情况:
图1粒子入射示意图
㈠; ㈡E >0; ㈢粒子能量E>0,但由左向右入射。
解:粒子入射示意图1:
①若,则,且E<0,
在x<0时,方程为:
(1)
记(2),则(1)式可以化简为:
方程的解为: (3)
由其物理意义可知:(3)式左边一项代表入射波,右边一项代表反射波。
在x>0时,方程为:
(4)
记(5),则(4)式可以化简为:
方程的解为: (6)
由其物理意义可知,(6)式代表的指数衰减波。由波函数的连续性条件,联立(3)(6)式得:
;求解该方程组得:;
由反射系数的定义并结合R的值得:
(7)
透射系数为:,带入数据得: (8)
②E>0,时粒子能量高于势场,求解方法与①类似,只是将(1)(4)中的换成E求解即可:
,其中(9)
带入数据得即可求出透射系数。
③粒子从右往左入射时,比①中的从左往右入射,就是将(1)(4)两式中的x换成求解即可:
,其中(10)
带入数据得即可求出透射系数。
势的散射
设x=a处有一维势垒,能量为E的粒子从左方入射。求透射系数。
解:微观粒子的运动演化可由方程给出:
(1)
显然在x=a处发散,对(1)式在区间上积分,可得:
(2)
再令,得:
,且(3)
可见,不连续,但是这个问题中粒子概率不连续,故连续,波函数可写为:
(4)
其中,波失,由波函数在x=a点连续得:1+R=S (5)
在x=a处,波函数的微商不连续,可以将(4)带入(3)得:
(6)
(5)(6)联立,消去R得透射系数:
注:势使不连续,是由方程导致的。


一个粒子在一维无限深势阱求解体系的能级及波函数。
注:在非相对论量子力学中,粒子无法穿透无穷高势壁的,故求解的结果必然是束缚态。
势求解
粒子在,(a>0)中运动,求粒子的束缚态能级及相应的归一化波函数。
思考:势场如果换成了,可以求解吗?(求解出的k为虚数,无物理意义)
(2011年)设粒子在一维势阱中运动,,试用定态微扰理论求体系基态能量的一级近似值。
解:因为,我们可以将看成是微扰:
即,在阱内: (1)
其中,,;:
,(其中);当n=1时,得到: (2)
,当n=1时,得到: (3)
可见体系在基态无简并,则由无简并定态微扰理论可知:
基态能量的一级修正为:
(2008年)对于束缚在两个刚性势壁之间的一维粒子,在第n能级的本征态中:
㈠本征能量与波函数; ㈡计算位置的不确定度
解:①:
本征能量(1)
波函数,(其中) (2)