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最优化论文函数模型论文:浅谈高中数学中关于最优化的函数模型
摘要:本文给出了高中数学中关于最优化问题的几个函数模型,包括二次函数模型,线性规划模型,不等式模型以及导数模型等等。通过对上述几种函数模型的探讨与研究,给出了在一定条件下求目标函数最优化问题的数学思想方法。
关键词:最优化;线性规划;导数;函数模型;不等式
一、引言
日常生活中常会遇到这样一类问题:在一定条件下怎样使产品最多,用料最省,成本最低等。这类问题都可归结为“最优化”问题。近年来高考中关于最优化问题不仅有过去常见的二次函数模型,不等式模型等等。还出现了一些以导数,向量,线性规划等为模型的应用问题。本文即结合新旧知识具体谈谈有关最优化问题的几种函数模型。
二、二次函数模型
二次函数是较多出现的一种模型,求解此类模型的最优值问题通常可分为两种情况:。,应首先求出每一定义域中每一段上的极值,然后加以比较,最后得出最终的最优值。
三、线性规划函数模型
对于这种模型首先要根据约束条件作出可行域,然后根据目标函数找出相应可行域的顶点,最后把顶点代入目标函数经过比较即可求出其目标函数的最优值。例1设函数f(x)=ax2+bx,且-1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围。
下面用线性规划的方法解决。
解:由题意得-1≤a-b≤2, 2≤a+b≤4,设目标函数z=f(-2)=4a-2b.
如图,作出上述约束条件的可行域,其中a(■,■)、b(3,1),当平行直线系经过点a(■,■)时,目标函数取得最小值z=4×■-2×■=-1;当平行直线系经过点b(3,1)时,目标函数取得最大值z=4×3-2×1=10,因此f(-2)∈-1,10。
线性规划是现代数学中研究最优化理论的重要模型,而新教材增加简单线性规划内容,不仅给传统的高中数学注入了新鲜“血液”,而且给提供了学数学,用数学的实践机会。
四、函数f(x)=ax+■(a,b>0)模型
对于这类模型的应用问题,首先根据题意得出目标函数,再把目标函数变形为f(x)=ax+■(a,b>0)的形式,最后根据ax+■≥2■(a,b>0)求出最优值。例2某森林出现火灾,火势正以每分钟100m2速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2,所消耗的灭火材料,劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附
加每次救火所耗损的车辆,器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1m2森林损失费为60元,问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?
此类模型的应用题出现频率较高,常常通过均值定理或函数的单调性求最值,此时要注意等号能否取到,必要时要讨论求之。
五、导数模型
对于这类模型