求极限的方法及其例题总结.docx

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说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;
(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限
这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

定理1 已知,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)
(2)
(3)
说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

,再利用极限运算法则求极限
例1
解:原式= 。
注:本题也可以用洛比达法则。
例2
解:原式= 。
例3
解:原式。

(1)
(2) ;
说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
例如:,,;等等。

利用两个重要极限求极限
例5
解:原式= 。
注:本题也可以用洛比达法则。
例6
解:原式= 。
例7
解:原式= 。

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
~~~~~~ 。
说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价
关系成立,例如:当时, ~ ; ~ 。
定理4 如果函数都是时的无穷小,且
~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。
利用等价无穷小代换(定理4)求极限
例9
解:~,~,
原式= 。
例10
解:原式= 。
注:下面的解法是错误的:
原式= 。
正如下面例题解法错误一样:
。
例11
解:,
所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 2.

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;
(2)和都可导,且的导数不为0;
(3)存在(或是无穷大);
则极限也一定存在,且等于,即= 。
说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。
例12 (例4)
解:原式= 。(最后一步用到了重要极限)
例13
解:原式= 。
例14
解:原式== 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)
例15
解:
例18
解:错误解法:原式= 。
正确解法:
应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。
例19
解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限
不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:
原式= (分子、分母同时除以x)
= (利用定理1和定理2)

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有。
利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
解:因为是函数的一个连续点,
所以原式= 。

定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。
例1. 设,
求极限。
定理8(准则2) 已知为三个数列,且满足:
(1)
(2) ,
则极限一定存在,且极限值也是a ,即。
10. 夹逼定理
利用极限存在准则求极限
例20 已知,求
解:易证:数列单调递增,且有界(0<<2),由准则1极限存在,设
。对已知的递推公式两边求极限,得:
,解得:或(不合题意,舍去)
所以。
例21
解: 易见:
因为,
所以由准则2得: 。
9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题,洛必达法则和等价无穷小结合御用,往往能化简运算,收到奇效。


11. 泰勒