高一数学等差数列.ppt

第2节等差数列

(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,其符号语言为an-an-1=d(n≥2,d为常数).
(2)等差中项
质疑探究:如何用函数的观点认识等差数列{an}的通项公式an及前n项和Sn?
提示:(1)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,d≠0时,>0时,{an}为递增数列,当d<0时,{an}为递减数列,当d=0时,{an}为常数列.
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2.(教材改编题)设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}的前8项和为( C )
(A)128 (B)80 (C)64 (D)56
{an}中,a1=15,an+1=an-2(n∈N*),则使该数列的前n项和Sn取得最大值的n为( B )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)6
解析:由已知,数列{an}为等差数列,其公差为-2,所以an=15+(n-1)×(-2)=17-2n,由于a8>0,a9<0,且{an}是递减数列,所以前8项和最大,故选B.
4.(2009年高考山东卷)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
解析:∵a5=a2+6,又a5=a2+(5-2)d,
∴d=2,
∴a6=a3+(6-3)d=7+3×2=13.
答案:13
等差数列的判定与证明
【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列;
(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.
思路点拨:(1)直接运用定义求解;(2)视an+1-an为一整体再用定义证明即可.
(1)解:an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0.
故当p=0,q∈R且q为常数时,数列{an}是等差数列.
(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q,
∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,
而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.
∴{an+1-an}是等差数列.
(1)判断或证明一个数列是否为等差数列,通常用定义法,即只需判断an+1-an=d(常数),还有时用等差中项法,即若有2an=an+1+an-1(n≥2),则{an}为等差数列.
(2)解答选择题或填空题时,,即an=An+B(A≠0),则{an}=An2+Bn,则{an}为等差数列.