高等流体力学-习题集.docx

高等流体力学流体的运动用x=a,y=etb+c2+e-tb-c2,z=etb+c2-e-tb-c2表示,求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。解:由题可知速度分量为:u=∂x∂t=0v=∂y∂t=etb+c2-e-tb-c2=zw=∂z∂t=etb+c2+e-tb-c2=y则速度的拉格朗日描述:V=0,etb+c2-e-tb-c2,etb+c2+e-tb-c2速度的欧拉描述:V=0,z,y速度场由V=x2t,yt2,xz给出,当t=1时求质点p1,3,2的速度及加速度。解:由V=x2t,yt2,xz可得速度分量式为:u=x2tv=yt2w=xz则当t=1时,质点p1,3,2的速度为:V=1,3,2;加速度为ax=∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂zay=∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂zaz=∂w∂t+u∂w∂x+v∂w∂y+w∂w∂z=ax=x2+x2t∙2xt+yt2∙0+xz∙0ay=2yt+x2t∙0+yt2∙t2+xz∙0az=0+x2t∙z+yt2∙0+xz∙x=ax=1+2+0+0=3ay=6+0+3+0=8az=0+2+0+2=4,即加速度为:a=3,9,4速度场由V=αx+t2,βy-t2,0给出,求速度及加速度的拉格朗日表示。解:由题可得速度场V=u,v,w=αx+t2,βy-t2,0,则由u=∂x∂t=αx+t2v=∂y∂t=βy-t2w=∂z∂t=0得dxdt-αx=t2dydt-αy=-t2dzdt=0,解微分方程得x=c1eαt-1αt2-2α2t-2α3y=c2eβt+1βt2+2β2t+2β3z=c3,即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中c1,c2,c3为任意常数。则u=∂x∂t=c1αeαt-2αt-2α2v=∂y∂t=c2βeβt-2βt-2β2w=c3,ax=∂2x∂x2=c1α2eαt-2αay=∂2y∂y2=c2β2eβt-2βaz=0得速度的拉格朗日表达式为:V=c1αeαt-2αt-2α2,c2βeβt-2βt-2β2,c3得加速度的拉格朗日表达式为:V=c1α2eαt-2α,c2β2eβt-2β,0已知质点的位置表示如下:x=a,y=b+ae-2t-1,z=c+ae-3t-1求:(1)速度的欧拉表示;(2)加速度的欧拉表示及拉格朗日表示,并分别求x,y,z=1,0,0及a,b,c=1,0,0的值;(3)过点1,0,0的流线及t=0在a,b,c=1,1,1这一质点的迹线;(4)散度、旋度及涡线;(5)应变率张量及旋转张量。解:由x=ay=b+ae-2t-1z=c+ae-3t-1得a=xb=y-xe-2t-1c=z-xe-3t-1由题得u=∂x∂t=0v=∂y∂t=-2ae-2t=-2xe-2tw=∂z∂t=-3ae-3t=-3xe-3t,则速度的欧拉表示为V=0,-2xe-2t,-3xe-3t加速度分量为ax=∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z=0ay=∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂z=4xe-2t=4ae-2taz=∂w∂t+u∂w∂x+v∂w∂y+w∂w∂z=9xe-3t=9ae-3t,则加速度的欧拉表示为a=0,4xe-2t,9xe-3t;则加速度的拉格朗日表示为a=0,4ae-2t,9ae-3t;当x,y,z=1,0,0及a,b,c=1,0,0时,a=0,4e-2t,9e-3t流线微分方程式为dxu=dyv=dzw,因为u=0所以,流线微分方程转化为dy-2xe-2t=dz-3xe-3t,消去中间变量积分得y=23etz+c1,又因为x=a,当x=1,y=z=0时,得到c1=0,a=1,即过点(1,0,0)的流线为x=1y=23etz由迹线微分方程为x=ay=b+ae-2t-1z=c+ae-3t-1,将t=0,a,b,c=1,1,1代入得质点轨迹方程为x=1y=e-2tz=e-3t散度divV=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0+0+0=0旋度rotV=∂w∂y-∂v∂zi+∂u∂z-∂w∂xj+∂v∂x-∂u∂yk=0i+3e-3tj+-2e-2tk涡线微分方程为dxwx=dywy=dzwz,又因为wx=0,涡线微分方程转化为dy3e-3t=dz-2e-2t,x=const,即涡线方程为y=-32e-tz+c2x=c3速度梯度∇V=∇u∇v∇w=∂u∂x∂u∂y∂u∂z∂v∂x∂v∂y∂v∂z∂w∂x∂w∂y∂w∂z=000-2e-2t003e-3t00,∴应变率张量S=∂u∂x12∂u∂y+∂v∂x12∂u∂z+∂w∂x12∂v∂x+∂u∂y∂v∂y12∂v∂z+∂w∂y12∂w∂x+∂u∂z12∂w∂y+∂v∂z∂w∂z=0-e-2t-32e-3t-e-2t00-32e-3t00∴旋转张量A=012∂u∂y-∂v∂x12∂u∂z-∂w