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第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1,X2,…相互独立,均具有有限方差,且被同一常数C所界:D(Xi)<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε,有 特殊情形:若X1,X2,…具有相同的数学期望E(XI)=μ,则上式成为伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数ε,有 伯努利大数定律说明,当试验次数n很大时,事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1,X2,…,Xn,…是相互独立同分布的随机变量序列,且E(Xn)=μ,则对于任意的正数ε有(2)中心极限定理列维-林德伯格定理设随机变量X1,X2,…相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差:,则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理设随机变量为具有参数n,p(0<p<1)的二项分布,则对于任意实数x,有(3)二项定理若当,则超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理若当,则其中k=0,1,2,…,n,…。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理统计的基本概念总体在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量,一般用n表示。在一般情况下,总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时,表示n个随机变量(样本);在具体的一次抽取之后,表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设为总体的一个样本,称 ()为样本函数,其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数,则称()为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩,,,,其中,为二阶中心矩。(2)正态总体下的四大分布正态分布设为来自正态总体的一个样本,则样本函数t分布设为来自正态总体的一个样本,则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设为来自正态总体的一个样本,则样本函数其中表示自由度为n-1的分布。F分布设为来自正态总体的一个样本,而为来自正态总体的一个样本,则样本函数其中表示第一自由度为,第二自由度为的F分布。第七章参数估计(1)点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数,则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数,即。又设为总体X的n个样本值,其样本的k阶原点矩为 这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有由上面的m个方程中,解出的m个未知参数即为参数()的矩估计量。若为的矩估计,为连续函数,则为的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为,其中为未知参数。又设为总体的一个样本,称为样本的似然函数,简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时,设其分布律为,则称为样本的似然函数。 若似然函数在处取到最大值,则称分别为的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。若为的极大似然估计,为单调函数