三角形面积在几何解题中的应用.doc

三角形面积在几何解题中的应用.doc三角形面积在几何解题中的应用王东孝摘要:由于面积联系着几何图形的重要元素,所以借助面积求解,常常简捷明快。木文例谈了三角形面积在几何解题中的应用。关键词:三角形;面积;应用作者简介:王东孝,任教于甘肃省酒泉市一中。一、 问题的提出木学期,笔者所教学的九年级数学第一章《证明》(二)中遇到一类证明和计算题,不会的学生很多,按正常的思维****惯,常规的解题方法不易完成。比如下面两道题:问题如图,边长为2的等腰三角形ABC内有一点0,过0作0D&perp;AB,0E&perp;BC,0F&perp;AC,垂足分别为D、E、F,那么0到三角形各边的距离之和为O O问题2:如图,向AABC外作等腰AABD和等腰△ACE,且使它们的顶角&ang;DAB=&ang;EAC,连接BE、CD相交于点P,AP的延长线交BC于F点。试判断&ang;BPF与&ang;CPF的关系,并加以证明。O通过研究发现,如果借助三角形的面积公式,这类问题的解决就简单了。二、 问题的解决这类问题中,有些题目在己知条件中己经提到面积,学牛容易联想到运用三角形面积解决,有些题目看似毫无面积的踪迹,看来与面积毫无关系,这就要求我们要善于分析题意,从题设中获取解题信息,用等积变形或面积联系,从而达到化难为易、化繁为简的目的。中考、数学竞赛中,运用面积的方法解决的题目经常出现。1•题目在已知条件中已经提到面积例1:如图,已知AB=CD,APAB的面积等于APCD的面积。O求证:0P平分&ang;BODo证明:作PE&perp;OB,PF&perp;OD,垂足分别为E、F贝I」SAPAB=AB&times;PE,SAPCD=CD&times;PFo由已知得,AB&times;PE=CD&times;PF,因为AB=CD,所以PE=PF,所以点P在&ang;BOD的平分线上,即0P平分&ang;B0Do例2:如图,已知D、E、F分别是AABC三边上的点,CE=BF,ADCE^DADBF的面积相等。求证:AD平分&ang;BAC<>O分析:要证AD平分&ang;BAC,可过点D分别作AB,AC的垂线,垂足分别为H、G,只要证DH=DG即可。本题已知ADCE和AOBF的面积相等,即CE&times;DG=BF&times;DH,可得DG=DH,所以点D在&ang;BAC的平分线上,即AD平分&ang;BACo以上两例,借助三角形面积相等,在三角形的底相等的情况下,很容易证得高相等,从而证得例题的结论。2•题目已知与面积无关如前面提出的两个问题:O问题1解:因为OD&perp;AB,OE&perp;BC,OF&perp;AC,垂足分别为D、E、F,考虑用三角形面积,连接AO、BO、CO,过A作AG&perp;BC,垂足为G,则++=,++=,*•*AB=BC=AC=2t&there4;OD+OE+OF=AG,而在直角AABC中,有勾股定理易得AG=,&there4;OD+OE+OF二问题2解:&ang;BPE=&ang;CPF,证明:过A点作AM&perp;DC于M,作AN&perp;BE于N,OT&ang;DAB=&ang;EAC,&there4;&ang;DAB+&ang;BAC二&ang;EAC+&ang;BAC,&there4;&ang;DAC=&ang;BAE,在ABAE和△DAC中,VAB=AD,&a