最短路径问题--教学设计.doc

:本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题,最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段,主要以“两点之间,线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础,有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置:1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中,体会“轴对称”的桥梁作用,感悟转化的数学思想。教学重点难点:重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学生学情分析:1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强,但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱,自主探究和合作学****能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识,能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识,但在数学的说理上还不规范,集合演绎推理能力有待加强。2、学生已经学****过“两点之间,线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学****的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。教学策略分析:最短路径问题从本质上说是最值问题,作为八年级学生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手。解答“当点A、B在直线l的同侧时,如何在l上找到点C,使AC与BC的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点,与直线l上的点的线段的和最小”的问题,为什么需要这样转化,怎样通过轴对称实现转化,一些学生会存在理解上和操作上的困难。在证明“最短”时,需要在直线上任取一点(与所求做的点不重合),证明所连线段和大于所求作的线段和,这种思路和方法,一些学生想不到。教学时,教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点,与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁,在证明最短时,教师要适时点拨学生,让学生体会任意的作用。教学条件分析:在初次解决问题时,学生出现了多种方法,通过测量,发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短;进而利用几何画板通过动画演示,实验验证了结论的一般性;最后通过逻辑推理证明。教具准备:直尺、几何画板,ppt教学过程:环节教师活动学生活动设计意图一复****引入1.【问题】:看到图片,回忆如何用学过的数学知识解释这个问题?,我们称为“最短路径”问题。1、两点之间,线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过的知识入手,为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。:【故事引入】:唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中就隐含着一个有趣的数学问题,古时候有位将军,每天从军营回家,都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水,那么问题来了,问题:怎样走才能使总路程最短呢?认真读题,仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手,由简到难,逐步深入。:【变换情境】:后来将军把家搬到了河的对面,若还是要带马先到河边喝水,然后再回家,应该怎样走,才能使总路程最短呢?(1)【转化】:你能将实际问题抽象为数学问题吗?(2)【展示】:让学生猜想,并画出图形。巡视发现学生不同的作法(尽可能多),分别展示各小组的作法【回答】:学生思考并回答,如何将实际问题转化为数学问题。已知:直线L和同侧两点A、B求作:直线L上一点C,使C满足AC+BC的值最小。【学生展示】:作法1:学生主动探索,充分发挥学生的主动性。展示多种方法,产生思维冲突,引发学生进一步探究的学****欲望。。给予学生一定的提示。(3)【度量】:如何才能判断哪种猜想是正确的呢?(测量一下)在几何画板中分别度量出AC,BC的长度,并计算AC+BC。让学生作法2::作法3:【学生反思】:第1种作法是利用“垂线段最短”,得到AC最短,利用“两点之间线段最短”,得到BC最短,但不能确定AC+BC是最短的。第2种作法只能说明在河l上取一点,到A、B两地的距离相观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。等,也就是AC=BC。不能说明AC+BC最短第3种作法应该是正确的。【追问】用第3种作法的同学,你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的?为什么要作对称点?如果做点B关于直线L的对称点,就是把点B移到了另一侧,而且满足了BC=BC’。其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质,L就是线段BB