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第六章矩阵函数.ppt

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第六章矩阵函数矩阵的多项式表示与矩阵的最小多项式定义:已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。*设为一个阶矩阵,为其Jordan标准形,则于是有*我们称上面的表达式为矩阵多项式的Jordan表示。其中*例已知多项式与矩阵*求。解:首先求出矩阵的的Jordan标准形及其相似变换矩阵那么有**定义:已知和关于变量的多项式如果满足,那么称为矩阵的一个零化多项式。*定理:已知,为其特征多项式,则有我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。定义:已知,在的零化多项式中,次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的最小多项式,通常记为。最小多项式的性质:已知,那么(1)矩阵的最小多项式是唯一的。(2)矩阵的任何一个零化多项式均能被*整除。(3)相似矩阵有相同的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。例1:已知一个Jordan块*求其最小多项式。解:注意到其特征多项式为,则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状其中。但是当时*

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