关于二重积分计算方法的探讨.doc

关于二重积分计算方法的探讨分类号:数学系学士学位论文二重积分的计算方法探讨系院名称数学与计算机工程学院指导老师学生姓名___学生学号专业班级提交时间西安文理学院数学与计算机工程学院二重积分的计算方法探讨摘要:本文主要讨论二重积分的四种了计算方法:直角坐标法,换元法计算二重积分,极坐标计算二重积分以及利用对称性进行二重积分的计算,并将每一种方法进行了总结,这对我们掌握多元函数积分学的计算有很大的帮助。关键词:二重积分,累次积分,直角坐标,极坐标。,为定义在D上的有界函数。f(x,y),,用任意的曲线把D分成n个可求面积的小区域以表示小区域,,,,.......,,.i12nd,,的面积,这些小区域构成D的一个分割T,以表示小区域的直径,称iiiT,maxd,(,,,)为分割T的细度。在每个上任取一点,作和式iiii1,i,nf(,,,),,,称它为函数在D上属于分割T的一个积分和。设J为一f(x,y),iii,个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于D的任何分割T,,T,,当它的细度时,属于T的所有积分和都有,则称f(x,y)f(,,,),J,,,ii在D上可积,数J称为函数在D上的二重积分,记作f(x,y)。J,f(x,y)d,,f(x,y)dxdy,,,,DD当函数连续且时,二重积分在几何上表示以f(x,y)f(x,y),0f(x,y)dxdy,,D为曲顶,D为底的曲顶柱体的体积;当时,的z,f(x,y)f(x,y),1f(x,y)dxdy,,D值等于积分区域D的面积。,即(K为常数)Kf(x,y)d,,Kf(x,y)d,,,,,DD性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和,即[f(x,y),g(x,y)]d,,f(x,y)d,,g(x,y)d,,,,,,,DDDD,DD,D性质3(积分区域可加性)设闭区域D由组成,且除边界点外1212无公共点,则在D上的二重积分等于在上二重积分的和,即D及Df(x,y)12f(x,y),d,f(x,y)d,,f(x,y)d,,,,,,,DDD12性质4如果在闭区域D上,,则f(x,y),g(x,y)f(x,y)d,,g(x,y)d,,,,,DD特殊的有f(x,y)d,,f(x,y)d,,,,,DD性质5(估值定理)设M,m分别是在闭区域D上的最大值和最小值,f(x,y)S是区域D的面积,则有DmS,f(x,y)d,,MSDD,,D性质6(积分中值定理)设,则至少存在一点,使f(x,y),C(D)(,,,),D得S(其中为有界闭区域D的面积)f(x,y)d,,f(,,,)SDD,,,x,b定义1:如果积分区域为:,,X,型,,(x),y,,(x)12y,,(x)2y,,(x)2DDy,,(x)1y,,(x)1aabb图(1)图(2),,a,b,(x),,(x)其中函数在区间上连续。则12b,(x)2f(x,y)dxdy,[f(x,y)dy]dx,,,,a,(x)1DX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点。定义2:如果积分区域为:,,Y,型,,(y),x,,(y)c,y,d12ddx,,(y)1Dx,,(y)1Dx,,(y)2x,,(y)2cc图(3)图(4)其中函数在区间上连续。则,,c,d,(y),,(y)12d,(y)2f(x,y)dxdy,[f(x,y)dx]dy,,,,c,(y)1DY型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点。基本步骤:步骤1画D图:画xOy坐标系;画围D曲线;用阴影标D步骤2找出积分区域的左右端(或上下端)即为x=a和x=b(或y=c和y=d)步骤3找出积分区域的上下线(或左右线)即为和(或y,,(x)y,,(x)12x,,(y)和x,,(y))122xyd,.例1设平面区域D是由抛物线与直线所围成的,求y,2,xy,x,,D解:因为积分区域D为(如图(5))2D,{(x,y)x,y,2,x,,2,x,1},D:D12若先对y后对x积分,所求的二重积分可化为,212x,xyddxxydy,,,,,,2xD11222[(2)],,,xxxdx,,229,8D,{(x,y),2,y,x,y,,2,y,1}D,{(x,y),2,y,x,2,y,1,y,2}12而若先对x后对y积分,所求的二重积分化为,,,xydxydxyd,,,,,,,,DDD12y1dyxydx,,0,,y,2,2,112yyydy,,,[(2)],,229,8小结:在直角坐标系下计算二重积分即使将二重积分化为累次积分,首先根据积分区域的几何特征