西安交通大学1999年研究生入学考试.doc

西安交通大学1999年研究生入学考试离散数学试题1(30分)请判断下列各题的正确性。⑴2A∩2B=2A∩B。⑵A\B=A当且仅当B=Æ。⑶(A´C)\(B´D)=(A\B)´(C\D)。⑷设|A|=5,则A上恰有31个不同的等价关系。⑸设R非空集合A上的关系,R是A上可传递的,当且仅当R○RÍR。⑹若R1,R2均为非空集合A上的等价关系,那么R1○R2也为A上的等价关系。⑺设<P,≤>为半序集,ƹSÍP,若S有上界,则S必有上确界。⑻设N为自然数集合,I为整数集合,´是算术乘法,则<N,´>与<I,´>同构。⑼设<G,*>是群,则G中至少有一个二阶元素。⑽设<R,Å,Ä>为整环,|R|=n,则<R,Å,Ä>是域。⑾设<R,Å,Ä>为域,<R,Å,Ä>为<F,Å,Ä>的子环,则<R,Å,Ä>为整环。⑿设<L,≤>为格,|L|=n,则<L,≤>为有界格。⒀存在7个结点的自补图。⒁下图为平面图。图1题1(14)⒂下图为哈密尔顿图。图2题1(15)图2(8分)设(G,*)为循环群,生成元为a,设(A,*)和(B,*)均为(G,*)的子群,而ai和aj分别为(A,*)和(B,*)的生成元。①证明(A∩B,*)是(G,*)的子群。②请问:(A∩B)是否为循环群。如果是,请给出其生成元。3(10分)设(A,Å,Ä)是环,AA={f|f是A到A的函数}。定义AA上的运算à和*如下,设f,gÎAA,对于任意的xÎA。(fàg)(x)=f(x)Åg(x);(f*g)(x)=f(x)Äg(x);证明:(AA,à,*)是环。4(6分)设A=<L1,≤1,*1,Å1>和B=<L2,≤2,*2,Å2>是两个格,f是A到B的同态函数。证明A的同态象是B的子格。(注:A的同态象即:f(L1)={f(x)|xÎL1})。5(8分)设G=(V,E)是简单的无向平面图,证明G中至少有一个结点的度数小于等于5。6(10分)设G是连通的无向图,且有2k>0个奇结点,证明:G中存在各边不重复的k条简单路P1,P2,…,Pk,使得E(G)=E(P1)∪E(P2)∪…∪E(Pk)。7(8分)设个体域为整数集合,将下