数学思维在《线性代数》中的应用.doc

数学思维在《线性代数》中应用本文从对数学思维理解角度出发,结合教学实践,展开论述,从理论上给出了几种不同思维方法概念,并举例研究了这些思维方法在《线性代数》中体现。一、类比思维所谓类比,就是借助于两类不同本质事物之间相似性,通过比较,将一种已经熟悉或掌握特殊对象知识推移到另一种新特殊对象上去推理手段。在教学过程中如能积极主动地运用类比进行讲解、论证,必将收到事半功倍教学效果,这种思维同样有利于学生创新能力提高。,f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+anx0(a0≠0)是一个n次多项式,这里面体现是加法、数与未知量相乘(数乘)与方幂,而对于方阵,我们也定义了方阵加法、数与方阵相乘与方幂,根据类比思想,我们把多项式中x换成方阵A也应该是成立,所以产生矩阵多项式 f(A)=a0An+a1An-1+…+an-1A+anE,A0=E 尤其是矩阵最小多项式在矩阵函数、微分方程组等问题中有重要应用。二、归纳思维归纳是在通过多种手段(如观察、剖析、实验等),在对个别事物经验认识基础上,发现规律,总结出一般事物所具备原理或定理推理方法。在《线性代数》教学中,使学生掌握归纳方法要点、本质,使学生树立起归纳意识是非常重要,因为这对他们以后从认知到创新能力过度起着重大影响。,其中剖析:观察这个矩阵,可以看出每一行元素之与都相等,且等于6;每一列元素之与也相等,且等于6,果把第二行(列)、三行(列)、四行(列)元素都加到第一行(列)上,则第一行(列)变为全是6,这样根据行列式性质就可以提出6,让第一行(列)。解: 总结:对于这样问题(行列式中每行元素之与相等,或者每列元素之与相等),就可以把其他几行元素都对应加到第一行,或者把其他几列元素都对应加到第一列。,求AA*,A*A以及|A|. (其中A*是A伴随矩阵) 解:由题知所以剖析:由结论知, (E是3阶单位阵)。所以,可得AA*=A*A=|A|E. 对于这样矩阵,我们有AA*=A*A=|A|E这一结论。现在问题:是不是对所有方阵都有这样结论呢,应用行列式按行按列展开定理,答案是肯定。我们可以得到一个一般结论。定理:任意方阵A,都有AA*=A*A=|A|E。(其中A*是A伴随矩阵;E是与A同阶单位阵) 三、逆向思维逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯似乎已成定论事物或观点反过来思考一种思维方式。敢于“反其道而思之”,让思维向对立面方向发展,从问题相反面深入地进行剖析,树立新思想,创立新形象。思维本身具有双向性,由此及彼与由彼及此就是思维两个相反方向。在《线性代数》中,有不少内容都可以培养学生逆向思维。由于逆向思维对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新方向往往都能起到积极作用。,求A41+2A42+3A44. 剖析:一般做题方法,是直接求出A41,A42,A44,带入计算。当然这种方法可以求出结果,但是做起来繁琐,耗费时间,并且容易出错。若用逆向思维,从结果出发,观察A41+2A42+3A44,这里唯独没有A43,所以我们可以增加一项,得到 A41+2A42+3A44=A41+2A42+0A43+3A44 并且发现系数是1,2,0,3,正好是第三行元素乘以对应第四行元素代数余子式之与,由定理知结果是0