2010级《高等代数》试卷A答案.doc

命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝***封线密重庆大学《高等代数(2)》课程试卷参考答案2010~2011学年第二学期开课学院:数学与统计学院课程号:考试日期:2011-6考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分填空题(每空3分,共21分):1、实二次型正定>0,。2、上线性变换定义如下:,则在基下的矩阵是。3、中全体对称矩阵做成的数域P上的线性空间的维数是。4、设三级方阵的三个特征值为1、2、-2,矩阵与相似,则的特征值为1、2、-2,伴随矩阵的三个特征值为-4、-2、2。5、设矩阵的初等因子为,则它的不变因子是,,。6、在中定义内积为,则的长度是。二、(12分)设为级实对称矩阵,则是半正定矩阵的充分必要条件是对于任意的正数,总是正定矩阵。证明:必要性:,有。因为,所以。又因为是半正定矩阵,所以。于是,从而总是正定矩阵。………(4分)充分性:设的特征值为且。则的特征值为。由于总是正定矩阵,故。若,则有,使得,此与矛盾,故,从而。所以是半正定矩阵。…………………………………………(12分)三、(15分)设是数域上维线性空间的线性变换且,证明:(1)的特征值为1或0;(2)(3)证明(1)设是的特征值,是对应的特征向量,即因为故有但故………………………………(5分)(2) ………………………………………………………(10分)(3)则又从而由(2)知,可以证明所以(或)即可得………(15分)四、(18分);;=TY,将化为标准形;:………(3分)……………………(6分)相应的特征向量为………(9分)相应的特征向量为……(12分)=TY,其中则……………………………(16分)=2>0,且负惯性指数q=2>0,所以二次型是不定的.………………………………………………(18分)五、(15分)已知复矩阵,、初等因子;:1.=…………(5分)A的不变因子为1,,初等因子为。………………………………………………………………(11分)…………………………