同济大学第六版高等数学上册课后答案全集.docx

高等数学第六版上册课后****题答案第一章****题1?11?设A?(????5)?(5???)?B?[?10?3)?写出A?B?A?B?A\B及A\(A\B)的表达式?解A?B?(???3)?(5???)?A?B?[?10??5)?A\B?(????10)?(5???)?A\(A\B)?[?10??5)?2?设A、B是任意两个集合?证明对偶律?(A?B)C?AC?BC?证明因为x?(A?B)C?x?A?B?x?A或x?B?x?AC或x?BC?x?AC?BC?所以(A?B)C?AC?BC?3?设映射f?X?Y?A?X?B?X?证明(1)f(A?B)?f(A)?f(B)?(2)f(A?B)?f(A)?f(B)?证明因为y?f(A?B)??x?A?B?使f(x)?y?(因为x?A或x?B)y?f(A)或y?f(B)?y?f(A)?f(B)?所以f(A?B)?f(A)?f(B)?(2)因为y?f(A?B)??x?A?B?使f(x)?y?(因为x?A且x?B)y?f(A)且y?f(B)?y?f(A)?f(B)?所以f(A?B)?f(A)?f(B)?4?设映射f?X?Y?若存在一个映射g?Y?X?使??其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射?即对于每一个x?X?有IXx?x?对于每一个y?Y?有IYy?y?证明?f是双射?且g是f的逆映射?g?f?1?证明因为对于任意的y?Y?有x?g(y)?X?且f(x)?f[g(y)]?Iyy?y?即Y中任意元素都是X中某元素的像?所以f为X到Y的满射?又因为对于任意的x1?x2?必有f(x1)?f(x2)?否则若f(x1)?f(x2)?g[f(x1)]?g[f(x2)]?x1?x2?因此f既是单射?又是满射?即f是双射?对于映射g?Y?X?因为对每个y?Y?有g(y)?x?X?且满足f(x)?f[g(y)]?Iyy?y?按逆映射的定义?g是f的逆映射?5?设映射f?X?Y?A?X?证明?(1)f?1(f(A))?A?(2)当f是单射时?有f?1(f(A))?A?证明(1)因为x?A?f(x)?y?f(A)?f?1(y)?x?f?1(f(A))?所以f?1(f(A))?A?(2)由(1)知f?1(f(A))?A?另一方面?对于任意的x?f?1(f(A))?存在y?f(A)?使f?1(y)?x?f(x)?y?因为y?f(A)且f是单射?所以x?A?这就证明了f?1(f(A))?A?因此f?1(f(A))?A?6?求下列函数的自然定义域?(1)?解由3x?2?0得?函数的定义域为?(2)?解由1?x2?0得x??1?函数的定义域为(????1)?(?1?1)?(1???)?(3)?解由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1?0)?(0?1]?(4)?解由4?x2?0得|x|?2?函数的定义域为(?2?2)?(5)?解由x?0得函数的定义D?[0???)?(6)y?tan(x?1)?解由(k?0??1??2????)得函数的定义域为(k?0??1??2????)?(7)y?arcsin(x?3)?解由|x?3|?1得函数的定义域D?[2?4]?(8)?解由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(???0)?(0?3)?(9)y?ln(x?1)?解由x?1?0得函数的定义域D?(?1???)?(10)?解由x?0得函数的定义域D?(???0)?(0???)?7?下列各题中?函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?(1)f(x)?lgx2?g(x)?2lgx?(2)f(x)?x?g(x)??(3)??(4)f(x)?1?g(x)?sec2x?tan2x?解(1)不同?因为定义域不同?(2)不同?因为对应法则不同?x?0时?g(x)??x?(3)相同?因为定义域、对应法则均相相同?(4)不同?因为定义域不同?8?设?求????(?2)?并作出函数y??(x)的图形?解????9?试证下列函数在指定区间内的单调性?(1)?(???1)?(2)y?x?lnx?(0???)?证明(1)对于任意的x1?x2?(???1)?有1?x1?0?1?x2?0?因为当x1?x2时??所以函数在区间(???1)内是单调增加的?(2)对于任意的x1?x2?(0???)?当x1?x2时?有?所以函数y?x?lnx在区间(0???)内是单调增加的?10?设f(x)为定义在(?l?l)内的奇函数?若f(x)在(0?l)内单调增加?证明f(x)在(?l?0)内也单调增加?证明对于?x1?x2?(?l?0)且x1?x2?有?x1??x2?(0?l)且?x1??x2?因为f(x)在(0?l)内单调增加且为奇函数?所以f(?x2)?f(?x1)??f(x2)??f(x1)?f(x2)?f(x1)?这就证明了对于?x1?x2?(?l?0)?有f(x1)?f