北大数学基础高等数学答案.doc

北大数学基础高等数学答案.doc年
一、考查函数定义，隐函数求导以及函数单调性
证明：由 x=y-esiny 得 dx/dy=l-£cosy
由 0三£<1 及 OVcosyVl 矢[I dx/dy=l-ecosy>0.
因此函数x=y-esiny单调递增，即对每个x,都有唯一确定的y与之对应. 由上可知单值函数y=f(x)存在.
dy/dx=l/(l-£cosy).
、
1、 查利用幕级数的系数求收敛半径和收敛区间.
解:令 an=(-l)n+l/n
lan+l/anl=n/n+l
则limlan+l/anl=l,H此幕级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1, 1).
2、 考查夹逼定理，定积分的性质
证明：由 0<x<l 得:0<xn/(l+x)<xn
由定积分性质知:0<[xn/(l +x)dx<fxndx= 1/n+l
显然 lim( 1/n+l)=0
由夹逼定理知limfxn/(l+x)=0
年
1、 f(x)的值域为[1/2,1],
2、 1/3(换元令 x=sint)
5、幕级数的收敛区间为(一1, 1),收敛域为[-1,1]
当一 1 <x《1 时，和函数=(1+x) ln(l+x)-x
当x=-l时,和函数=1
年
1、当 xfO 时f=[2x2-(l+ x2)ln(l+ x2)]/x2(l+ x2)
当x=0时f=1
年
1、 dy/dx=-sinx*ecosx/2cos2y
2、 2(sinx-ln( 1+sinx)+C
3、 £an绝对收敛—>lim|an|=0^1imanA2/|an|=lim|an|=0^^anA2收敛(比较审敛法的极限形式)
年
1、 f' =2x*e-(l +xA2)A2
r= e-(l+xA2)A2(2-8x2-8x4)
2、 ln2-2+H/2(根据定积分的定义,原式=Jln( 1 +x2)dx)
3、 1)定义域(-oo, -1) U (-1, 1) U (1, +oo)
奇函数
单调递增区间(・oo,・也],[也，+00) 单调递减区间[-a/3, -1], (-1, 1), (1, a/3] 极大值点x=-〈3
极小值点x=〈3
凸区间(-co, -1), (0, 1]
凹区间(・1, 0], (1, +oo)
拐点(0, 0)
垂直渐进线x=l和x=l
斜渐进线y=x
无水平渐进线
草图略
5、-x(l+x)/(x-l)3 (-1<x<1)
年
1、 dy/dx=f(-x)(换元令 u=t-x)
n!+(n+1)!x+(n+2)!/(2!)A2xA2+ (2n)!/(n!)A2xAn+ =E(n+m)!/(m!)A2 xAm (m 从 0 到
+oo)・ oo<x<+oo
(先将xnex展开，然后再逐项求n阶导)
年
1、0 (等价无穷小替换和洛必达法则)
3、 证明：由已知可得-l<xn<l
当0<xn<l, xn+l=sinxn<xn,KlJ｛xn｝单调递减并有下界，因此limxn必存在。
当-l<xn<0, 0<-xn<l, - xn+l=sin (-xn) <-xn,因此 xn+l>xn,则｛xn｝单调递增且有上界， 因此limxn必存在。
lim xn=0
x-x2/22+x3/32- (-I)