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数学建模椅子问题.doc

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椅子能在不平的地面上放稳
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证
明。
一、模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的
连线呈正方形。
2、地面高度是连续变化的，沿椅子的任何方向都不会出现间断
（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅子脚的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子在任何位置至少有三只同时着地。
二、模型建立中心问题是数学语言表
示四只同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正

B
A
C A x
C
D
D
方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅
脚与地面的竖直距离，当这个距离为 0 时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、
C 两脚与地面距离之和为
f，B、D 两脚与地面距离之和为
g ，
显然 f
、g
0 ，由假设 2 知 f 、g 都是连续函数，再由假设
3 知
f、 g
至少有一个为
0。当 0 时，不妨设 g0, f
0 ，这
样改变椅子的位置使四只同时着地，就归结为如下命题：
命题已知 f 、 g 是的连续函数，对任意， f * g =0，
且 g 0 0, f 0 0 ，则存在 0 ，使 g

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