反函数常用知识点总结.docx

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反函数
定义
一般地，设函数

y=f(x)(x

∈ A) 的值域是

C，若找得到一个函数

g(y) 在每一处

g(y) 都等于

x ，-1 -1 (x)y=f
(x) 。y=f y=f(x)(x
分别是函数 y=f(x)

∈ A) 的反函数，记作反函数这样的函数的值域、定义域。 （不求过深理解）

x= g(y)(y

∈ C)叫做函数的定义域、值域
引申
一般地， 如果 x 与 y 关于某种对应关系 f（ x ）相对应， y=f（ x），则 y=f（ x）的反函数
存在反函数 (默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）
注意：上标╜ ???指的并不是幂。
(n)(x) 是用来指 f 的 f n 次微分的。 在微积分里，若一函数有反函数，此函数便称为可逆的
（invertible ）。

- 1

为

y=f (x) 。
。
性质
（-1 x）图象关于直线 fy=x 对称；（ 1）函数 （f x）与它的反函数
1 函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称
2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数

y=f(x)

，定义域是

{0}

且

f(x)=C

（其中

C 是常数），
则函数

f(x) 是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是

{C},

值域为

{0}

）。奇函数不一定存在反
函数，被与

y 轴垂直的直线截时能过

2 个及以上点即没有反函数。

若一个奇函数存在反函数，

则
它的反函数也是奇函数。
5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
6）反函数是相互的且具有唯一性；
7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）；
（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）
（9）反函数的导数关系：如果 x=f(y ）在区间

（在有反函数的情况下，即满足（ 2））；
I 上单调，可导，且 f' （ y) ≠ 0，那么它的反函数
y=f' （ x) 在区间 S={x|x=f(y),y 属于

I }

内也可导，且

[f' （ x)]'=1\[f'

（ x） ]' 。
（10 ） y=x 的反函数是它本身。
说明
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- 1(y) 中，y 是自变量， x 是函数， 但****惯上， 我们一般用⑴在函数
x=f x 表示自变量， 用 -1-1(x)y=f ，