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数值分析数值积分
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数值积分引言
计算定积分
微积分基本公式：
(2) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表。
但是在许多实际计算问题中
(1) f (x) 表达式较复杂，原函数难求！甚至有时不能用初等函数表示。如
此时需要利用数值方法来近似计算定积分。
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数值积分的几何意义
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数值求积的基本思想
依据积分中值定理，对于连续函数 f（x），在［a，b］内存在一点ξ，成立
就是说，底为 b- a 而高为 f（ξ）的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 ξ 的具体位置一般是不知道的，因而难以准确地算出 f（ξ） f（ ξ）为区间［ a，b］，只要对平均高度 f（ξ）提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.
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数值求积的基本思想
分别用 f (a)，f (b) 和 近似 f () 可得
左矩形公式
右矩形公式
中矩形公式
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求积公式的基本思想
若用 f (a) 和 f (b) 的算术平均值近似 f ()，则可得
梯形公式
若用 f (a) , f ([a+b]/2)和 f (b) 的加权平均值近似 f ()， 则可得
辛甫生公式
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一般求积公式
更一般地，可以用 f (x) 在 [a, b] 上的一些离散点
上的值加权平均作为 f () 的近似值，从而构造出
求积节点
求积系数
机械求积法：求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式
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机械求积的问题描述
已知n+1个x以及在这些x上的函数值
求解此函数在某个区间的积分值
如何衡量这个公式的好坏？
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代数精度
定义
如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式
精确成立，但对于某一次数为 m+1 的多项式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为 m 次。
要验证一个求积公式具有 m 次代数精度，只需验证对 f (x)＝1, x, x2, … , xm 精确成立，但对 f (x)＝xm+1 不精确成立即可，即：
( k = 0, 1, … , m )
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已知：求积公式对于xk（k=0，1，…，m）均能准确成立
求证：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立
证明：
由已知条件知
（k=0，1，…，m）
证明两种说法的等价性
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