数值分析数值微积分.ppt

数值分析课件数值微积分
第一页，共73页
数值分析
第4章 数值积分与数值微分
基本公式与一般概念
Newton-Cotes公式
复化求积公式
Romberg算法
高斯求积公式
数值微分
内容比较抽象，理论要求高，简单介绍
第二页，共73页
数值分析

实际问题中常常需要计算积分，例如重积分、线面积分等各种运算都以
定积分的计算为基础，而计算定积分的Newton-Leibniz公式要以存在初
等函数形式的原函数为前提，即在公式
中原函数为初等函数。但在许多场合无法在初等函数范围内求出原函数
，例如，形式上很简单的积分
在初等函数范围内求不出原函数，则无法用Newton-Leibniz公式计算相
应的定积分。
第三页，共73页
数值分析
基本公式与一般概念
数值微积分

用函数值的线性组合表示导数或者积分的近似值的计算方法。
几个基本公式
1. 矩形公式 由积分中值定理知：若 ，则


其中， 称为函数 在区间[a,b]上的平均值，几何上可解释为
在区间[a,b]上的平均高度。记区间[a,b]的中点坐标 ，并用
近似代替 ，便得到一个近似公式（矩形公式）
第四页，共73页
数值分析
2. 梯形公式
用区间[a,b]两端点处函数的平均值近似代替 ，便得到其
近似公式
它在几何上表示用过两端点的直线代替曲线，用梯形面积近似代替
曲边梯形面积，因而称为梯形公式。
注：公式中用了2个端点处的函数值。
第五页，共73页
数值分析
3. 抛物线公式
如果用过两端点a,b和中点 的抛物线来代替被积函数，就可
得到抛物线公式
也称为simpson公式。
注：公式中用了3个节点处的函数值。
从几何意义上可看出，在通常情况下，抛物线公式的精度相对比较
高。
第六页，共73页
数值分析
例题 分别用矩形公式、梯形公式和抛物线公式计算
，并与精确值进行比较。
解 用矩形公式可得

用梯形公式可得

用抛物线公式可得
而准确值
第七页，共73页
数值分析第八页，共73页
数值分析
求积公式及其代数精度
上面的几个公式（矩形、梯形和抛物线公式）有个共同点，就是用
积分区间[a,b]内若干点的函数值的线性组合来计算积分的近似值，
而组合系数之和等于积分区间的长度。也就是说：用积分区间[a,b]
内若干点的函数值的加权平均值近似代替其平均值，而各点权数之
和等于1.
一般地，可以在积分区间内取n+1个互异的点 ，用函
数值 的加权平均近似代替 ，即
从而
第九页，共73页
数值分析
上述函数值的线性组合称为求积公式， 称为求积节
点， 称为求积系数。
构造求积公式的关键在于按照一定的原则和要求确定满足条件的节
点 和求积系数 。
数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式能对“尽
可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。
表示方法：积分—I[f]；求积公式—Q[f]
第十页，共73页