随机过程试卷.doc

随机过程试卷.doc随机过程试卷
一、简答
随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。
答：教材P49
如果对任意的和t[, 有
fxY (兀1，兀2，…； '1，'2,…；Vl，『2，…Vm ； '1，'2,…'m )
=fX (无‘ *2,……(Vl，『2,…儿;“丿2,…
则称X(f)和Y(f)之间是相互独立的。
两个随机过程X(f)和Y(f),如果对任意的片和乙都有互协方差函数为0,即
Cx,/") = 0
则称X(/)和Y(/)之间互不相关。两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定。
(高斯随机过程的互不相关与互相独立等价)
两个随机过程X(f)和Y(f),如果对任意的tJwT ,其互相关函数等于零，即
Rxy (^1^2)= 0
则称x(。和y(o之间正交。而且正交不一定互不相关。
(均值为零的两随机过程正交与互不相关等价)
随机过程的各态历经性及实际意义。
答：教材P65-69
平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于(充分长)时间的平均值，近似地等 于观察总体的集合平均值。如对均方连续的实平稳过程｛X(z)je(-oo,oo)｝,mx =E[X(/)] 是X(f)的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线(样本函数)的集合平均值。而对X(f) 中任一现实曲线x(/), mT =^[TX(t)dt是x(f)在[-T,门对时间/的平均值，称为时间平 均值。显然X(f)的每一曲线都在加％的上下波动，则可以想象，当T充分长时该现实曲线 x(/)可以很好地代表实平稳过程｛X(/),虫(-8,8)｝的整个性质，女WmT^mx 0对于这样的 平稳过程，称具有各态历经性，但只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。
要讨论平稳过程的数字特征，就应该知道一族样本函数。而样板函数往往需要经过大量 的观察实验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。讨论平稳 过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均 值、协方差函数等数字特征。
高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。
答：教材P159-160
必要性若Xj,X2，・・・X”是相互独立的正态随机变量，则必有
f X (*1' *2 ,X”)= fx, (Xi)/x2 (*2 )…fxn(X” )' (Px(yvv2,---,vJ =(pXx (匕巾理佃)…0X” e”) = fjexp»y—卜树｝ =exp ｛ j£ Av, -扭 b匕2 j 其中，〃产 E[X J, = D[X J,心 1,2,
bj
0
c =
0
0
是协方差矩阵，显然，时，C,, =0,故X：与兀是不相关的。 充分性若X],X2，・「X”是两两互不相关的正态随机变量，则
Ch.=E[(Xi-^)(Xi-^,)] = 0,k^i
^X(vl,v2,---,v„) = exp
其中 v = (^3^2,// = (//],, C为协方差矩阵，因而有
^(vl,v2,---,v„) = exp
n =n^,(v,) i=l
« I I
= Y[explj^lvi--Cllvf
其中(pXi (v)是正态随机变量Xi的特征函数。依特征函数性质知X], X?,…,X”相互独立。
泊松过程是