9.5 梁的位移与挠曲线近似微分方程.ppt

梁的位移与挠曲线近似微分方程 :挠曲线方程: )(xyy? 1、弯曲变形的表示方法: (1)挠度 y:截面形心在 y 方向的位移;(2)转角θ:某横截面绕自己的中性轴转动的角度。转角方程: )(xy ???由于小变形,截面形心在 x方向的位移忽略不计挠度转角关系为: dx dy ???? tan x 挠曲线 y x y挠度?转角表明:挠曲线上某点切线的斜率等于该点横截面的转角。 : 推导弯曲正应力时,得到: z EI Mρ 1?忽略剪力对变形的影响 z EI xM x )()( 1???由数学知识可知: 32 2 2])(1[ 1dx dy dx yd????略去高阶小量,得 2 21dx yd???所以 z EI xM dx yd)( 2 2??由上式进行积分,就可以求出梁横截面的转角和挠度。由弯矩的正负号规定可得,当 y坐标向下时,弯矩的符号与挠曲线的二阶导数异号,所以挠曲线的近似微分方程为: z EI xM dx yd)( 2 2??EI Z ——抗弯刚度挠曲线的近似微分方程为: z EI xM dx yd)( 2 2??积分一次得转角方程为: ?????C dx xM EI dx dy EI zz)(?)( 2 2xM dx yd EI z??再积分一次得挠度方程为: DxC dxdx xM y EI z??????)( 积分法求弯曲变形积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。边界条件:梁横截面的已知位移条件或约束条件。连续光滑条件:在相邻梁段的交接处即分段处, 相连两截面应具有相同的转角与挠度。确定积分常数举例: 边界条件: 连续条件: ? 0:00:0 ???? AAxyx ?? 0,00,0 12???? AByxyx 右??? bx,ax 2 1??右左cyy? c ????????右左右左时 C C C Cyy lx??:2/ ?????: :0lx x ?????: :0lx x 0? Ay0? By0? Ay EA qla y B2 ?确定积分常数举例: 边界条件: 连续条件: 例1 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度,梁的 EI已知。解: 1)由梁的整体平衡分析可得: ,0? AX ),(??FY A)( Fl m A? 2)写出 x截面的弯矩方程)()()(lxFxlFxM?????3)列挠曲线近似微分方程并积分)()( 2 2xlFxM dx yd EI????CxlF EI dx dy EI????? 2)(2 1?D Cx xlF EIy???? 3)(6 1积分一次再积分一次 B?A B xy xlF By