数字图像处理课件4.pdf

数字图像处理武汉理工大学信息学院第4章图像变换(Image Transform) 连续傅里叶变换 连续傅里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 快速傅里叶变换 傅里叶变换的性质 傅里叶变换的性质 图像傅里叶变换实例 图像傅里叶变换实例 其他离散变换 其他离散变换 连续傅里叶变换( Continuous Fourier Transform ) l1807年,傅里叶提出了傅里叶级数的概念,即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加。 l1822年,傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交变换,它的理论完善,应用程序多。 l在数字图像应用领域,傅里叶变换起着非常重要的作用,用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform) 函数 的一维连续傅里叶变换由下式定义: () 其中, 。的傅里叶反变换定义为: () l 注意正反傅里叶变换的惟一区别是幂的符号。函数和被称作一个傅里叶变换对, 对于任一函数,其傅里叶变换是惟一的,反之亦然。( )xf ( ) ( ) ∫∞∞??=? dxexfu Fuxj π 2 : 1 2 ?= j ( )uF ( ) ( ) ∫∞∞??=? dueuFx fuxj π21 : ( )uF ( )xf ( )uF ( )xf 连续傅里叶变换的定义 (Definition of Continuous Fourier Transform) 这里 是实函数,它的傅里叶变换 通常是复函数。 的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下: l实部 () l虚部 () l振幅 () ( )xf ( )uF ( )uF ( ) ( ) ( ) ∫+∞∞?= dtutt fu R π2cos ( ) ( ) ( ) ∫+∞∞??= dtutt fu I π2sin ( ) ( ) ( ) [ ] 2 1 22uIuRu F += 连续傅里叶变换的定义(Definition of Continuous Fourier Transform) l能量 () l相位 () 傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数是连续可积的,且可积,则存在如下的傅里叶变换对: ( ) ( ) ( ) ( )uIuRu F u E22 2 +== ( ) ( ) ( )uR uI u arctan = φ( )yxf , ( )vuf , 连续傅里叶变换的定义(Definition of Continuous Fourier Transform) () () 式中 是频率变量。与一维的情况一样, 二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为: ( ) { } ( ) ( ) ( ) ∫∫+?== dxdye y x fv u F y x f Fvyuxj π 2 ,,, ( ) { } ( ) ( ) ( ) ∫∫+?== dudve v u Fy x f v u F Fvyuxj π21 ,,, v u 、 连续傅里叶变换的定义(Definition of Continuous Fourier Transform) l傅里叶频谱: () l相位: () l功率谱: () ( ) ( ) ( ) [ ] 2 1 22 ,,,vuIv u Rv u F += ( ) ( ) ( ) vuR vuI vu , , arctan, = φ( ) ( ) ( )vuIv u R v u E,,, 22 += 离散傅里叶变换( Discrete Fourier