实变函数证明题大全(期末复习).doc

1 、设', ( ) . . E R f x E a e ?是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数{ } ng ,使得 lim ( ) ( ) . . nn g x f x a e ???于E。证明:因为( ) f x 在E 上可测,由鲁津定理是,对任何正整数 n ,存在 E 的可测子集 nE , 使得1 ( ) n m E E n ? ?, 同时存在定义在 1R 上的连续函数( ) n g x ,使得当 n x E ?时,有( ) ( ) n g x f x ?所以对任意的 0??,成立[| | ] n n E f g E E ?? ???由此可得 1 [| | ] ( ) n n mE f g n m E E n ? ????, 因此 lim [| | ] 0 nn mE f g n ??? ??即( ) ( ) n g x f x ?, 由黎斯定理存在{ } ng 的子列{ } kng ,使得 lim ( ) ( ) knk g x f x ???, . . a e 于E 2、设( ) ( , ) f x ???是上的连续函数, ( ) g x 为[ , ] a b 上的可测函数,则( ( )) f g x 是可测函数。证明:记 1 2 ( , ), [ , ] E E a b ? ?????, 由于( ) f x 在1E 上连续, 故对任意实数 1 , [ ] c E f c ?是直线上的开集,设 11 [ ] ( , ) n n n E f c ? ???? ??,其中( , ) n n ? ?是其构成区间(可能是有限个 , n?可 能为?? n?可 有为??) 因此 2 2 2 2 1 1 [ ( ) ] [ ] ( [ ] [ ]) n n n n n n E f g c E g E g E g ? ? ??? ?? ?? ? ??????? ?因为 g 在2E 上可测,因此 2 2 [ ], [ ] n n E g E g ? ?? ?都可测。故[ ( ) ] E f g c ?可测。 3、设( ) f x 是( , ) ????上的实值连续函数, 则对于任意常数 a , { | ( ) } E x f x a ? ?是一开集,而{ | ( ) } E x f x a ? ?总是一闭集。证明:若 0 0 , ( ) x E f x