3 计算方法常微分方程差分方法.ppt

1计算方法计算方法 2 3 3 常微分方程的差分方法常微分方程的差分方法??问题的提出问题的提出??一阶方程的典型解法一阶方程的典型解法 3 问题的提出问题的提出??数值微分数值微分微分的定义微分的定义??差商公式差商公式————三种典型的差商公式三种典型的差商公式 4 ??典型的微分方程典型的微分方程( (一阶方程的初值问题一阶方程的初值问题) ) ??理论解理论解( (解析方法解析方法) )的局限性的局限性??数值解法的重要性数值解法的重要性————无理论解、仅有离散点。无理论解、仅有离散点。 00 ')( ),(yxy yxfy??5 ??差分方法是一类重要的数值解法差分方法是一类重要的数值解法寻求一系列寻求一系列离散节点离散节点 x x 1 1 < < x x 2 2< <……< < x x n n< <……上的上的近似解近似解 y y 1 1, , y y 2 2, ,……, ,y y n n, ,……。。 h h= =x x n n +1 +1- -x x n n称为称为步长步长。。??初值问题差分方法的特点: 初值问题差分方法的特点: 步进式步进式————求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。推进。描述这种算法,只要给出从已知信息描述这种算法,只要给出从已知信息 y y n n, ,y y n n -1 -1, ,y y n n -2 -2, ,……计计算算y y n n +1 +1的递推公式的递推公式————差分格式。差分格式。??求解的核心求解的核心————消除导数,离散化方法消除导数,离散化方法 6 Euler Euler 方法方法?? Euler Euler 格式格式微分的微分的离散化离散化————差商代替导数差商代替导数在点在点 x x n n列出一阶方程列出一阶方程已知 0 ' ))(,()(y xyxfxy nnn?7 ??显式显式??图形图形已知 0 1 1 1 1 1 ')2,1,0 )(,( ))(,()()( )()()()()(y nyxfhyy xyxfhxyxy h xyxyxx xyxyxy nnnn nnnn nn nn nnn???????????????????? 8 ??例题例题取取h h = = 1)0( )10( 2 '?????y xy xyy 9 欧拉方法的误差分析欧拉方法的误差分析??局部截断误差:在局部截断误差:在 y y n n= =y y( (x x n n) )为准确的前提下, 为准确的前提下, y y n n +1 +1- -y y n n的误差。的误差。如果其局部截断误差为如果其局部截断误差为 O( O( h h p p +1 +1) ),称该数值方,称该数值方法的精度是法的精度是 p p阶的。阶的。?? Euler Euler 格式的精度:一阶方法。格式的精度:一阶方法。 10 ??隐式隐式 Euler Euler 方法方法向后差商公式向后差商公式。。已知 0 11 1 11 1 1 1 11 '),( ))(,()()( )()()()()(y yxfhyy xyxfhxyxy h xyxyxx xyxyxy nnnn nn nn nn nn nnn???????????????????????