随机数学作业(答案)全部.doc

作业 1 (随机过程的基本概念) 1 、对于给定的随机过程{ ( ), } X t t T ?及实数 x ,定义随机过程 1, ( ) ( ) 0, ( ) X t x Y t X t x ??????, t T ?请将{ ( ), } Y t t T ?的均值函数和相关函数用{ ( ), } X t t T ?的一维和二维分布函数表示。解: 1 2 , 1 2 ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( , ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) 1) ( ( ) , ( ) ) ( , ) tY s t E Y t P X t x F x R s t E Y s Y t P Y s Y t P X s x X t x F x x ? ???? ?? ??? 2 、设( ) , Z t X Yt t R ? ???,其中随机变量 X,Y 相互独立且都服从 2 (0, ) N?,证明{ ( ), } Z t t R ??是正态过程,并求其相关函数。提示:注意到 11 ( ) 1 ( ) 1 n n Z t tXY Z t t ? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??即可证得{ ( ), } Z t t R ??是正态过程。按照相关函数的定义可得 2 ( , ) (1 ) Z R s t st ?? ? 3 、设{ ( ), 0} W t t ?是参数为 2?的 Wiener 过程,求下列过程的协方差函数: (1) { ( ) , 0} W t At t ? ?,其中 A 为常数; (2) { ( ) , 0} W t Xt t ? ?,其中(0,1) X N ,且与{ ( ), 0} W t t ?相互独立; (3)2 { ( ), 0} t aW t a ?,其中 a 为正常数; (4)1 { ( ), 0} tW t t ?提示: Wiener 过程就是指 Brown 运动。(1 )令( ) ( ) , 0 Z t W t At t ? ??,由定义求得 2 ( ( )) ( , ) cov( ( ), ( )) ( )= min s t Z E Z t At C s t Z s Z t ??? ?代入Z(t) 的形式{,} 具体在求的时候,可以先假设 s t ?,然后再求(下同)。(2 )令( ) ( ) , 0 Z t W t Xt t ? ??,由定义求得 2 ( ( )) 0 ( , ) cov( ( ), ( )) ( )= min s t Z E Z t C s t Z s Z t ??? ?代入Z(t) 的形式{,}+st (3)2 ( ) ( ), 0 t Z t aW t a ? ? 2 ( ( )) 0 ( , ) cov( ( ), ( )) ( )= min s t Z E Z t C s t Z s Z t ??? ?代入Z(t) 的形式{,} (4)1 ( ) ( ), 0 Z t tW t t ? ? 2 ( ( )) 0 ( , ) cov( ( ), ( )) ( )= min s t Z E Z t C s t Z s Z t ??? ?代入Z(t) 的形式{,} 4 、设随机过程{ ( ), } X t t T ?,其中( ) cos( ), X t X t t R ?? ?,且 w 为常数, X 服从正态分布, 0, 1 EX DX ? ?,求过程的一维分布密度和协方差函数。提示: 容易证明, 2 ( ) (0, cos ( )) X t N t ?,此即过程的一维分布。由n 维正态随机变量的性质, 1 2 1 2 , , ( ( ), ( )) t t T X t X t ? ?服从二维正态分布。协方差阵等等也容易求。 5、设( ) , Z t X Yt t R ? ??, 已知二维随机变量(X,Y) 的协防差矩阵为 2122 ? ?? ?? ?? ??