1.8 连续函数的运算、初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质.doc

42 连续函数的运算、初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 连续函数的和、差、积及商的连续性定理 若函数?? f x 、?? g x 都在点 0 x x ?连续,则函数???????????????? 0 , , 0 f x f x g x f x g x g x g x ? ? ?都在点 0 x x ??????? f x h x g x ?,则由商的极限运算法及函数???? f x g x 和在点 0 x x ?处的连续性得???????????????? 0 0 0 0000 lim lim lim , lim x x x x x x x x f x f x f x h x h x g x g x g x ?? ??? ???故由连续函数的定义得,函数?? h x 在点 0 x x ?处连续. 反函数与复合函数的连续性定理 若函数?? y f x ?在区间 xI 上严格单调且连续, 则其反函数?? x y ??在对应区间yI (略) 设函数?? y f g x ?? ?? ?由函数?? y f u ?与?? u g x ?复合而成,?? 0, f g x D U ???若?? 00 lim , x x g x u ??而函数?? y f u ?在点 0 u u ?处连续,则复合函数?? y f g x ?? ?? ?在点 0 x x ?处存在极限,且?????? 0 0 0 lim lim . x x u u f g x f u f u ? ?? ?? ?? ?证(略) 例1—8—2 求233 lim . 9 xxx ???解函数 239 xyx ???是由函数 y u ?与239 xux ??? 43 2 3 3 3 1 1 lim lim , 9 3 6 x x x x x ? ??? ?? ?故当3x?时, u?于是 2136 3 1 lim lim . 9 6 xuxux ???? ??定理 设函数?? y f g x ?? ?? ?由函数?? y f u ?与函数?? u g x ?复合而成,若函数?? u g x ?在点 0x 处连续, ?? 0 0 g x u ?, 函数?? y f u ?在点 0u 处连续, ,则复合函数?? y f g x ?? ??