100测评网高二数学练习卷函数的连续性.doc

欢迎登录 100 测评网****检测,有效提高学****成绩. 分段函数的极限和连续性例设?????????????)21(1 )1(2 1 )10()(x x xxxf (1 )求) xf( 在点1?x 处的左、右极限,函数) xf( 在点1?x 处是否有极限? (2 )函数) xf( 在点1?x 处是否连续? (3 )确定函数) xf( 的连续区间. 分析: 对于函数) xf( 在给定点 0x 处的连续性,关键是判断函数当 0xx?时的极限是否等于)( 0xf ;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续. 解:(1)1 lim )( lim 11????xxf xx11 lim )( lim 11????xxxf ∴1)( lim 1??xf x 函数) xf( 在点1?x 处有极限. (2))( lim 2 1)1( 1xff x????函数) xf( 在点1?x 处不连续. (3 )函数) xf( 的连续区间是( 0,1),(1,2). 说明: 不能错误地认为)1(f 存在,则) xf( 在1?x 处就连续. 求分段函数在分界点 0x 的左右极限, 一定要注意在分界点左、右的解析式的不同. 只有)( lim ),( lim )( limxfxfxf xxxxxx ????才存在. 函数的图象及连续性例已知函数 2 4)( 2???x xxf , (1 )求) xf( 的定义域,并作出函数的图象; 欢迎登录 100 测评网****检测,有效提高学****成绩. (2 )求) xf( 的不连续点 0x ; (3 )对) xf( 补充定义,使其是 R 上的连续函数. 分析: 函数) xf( 是一个分式函数, 它的定义域是使分母不为零的自变量 x 的取值范围, 给函数) xf( 补充定义,使其在 R 上是连续函数,一般是先求)( lim xf xx?,再让)( lim )( 0xfxf xx??即可. 解:(1 )当02??x 时,有 2??x . 因此,函数的定义域是??????????,22,?当2?x 时,.22 4)( 2?????xx xxf 其图象如下图. (2 )由定义域知,函数) xf( 的不连续点是 2 0??x . (3 )因为当 2?x 时,2)(??xxf 所以4)2( lim )( lim 22????????xxf xx 因此,将) xf( 的表达式改写为?????????????)2(4 )2(2 4)( 2x xx xxf 则函数) xf( 在R 上是连续函数. 说明: 要作分式函数的图象, 首先应对函数式进行化简, 再作函数的图象, 特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致. 利用函数图象判定方程是否存在实数根欢迎登录 100 测评网****检测,有效提高学****成绩. 例利用连续函数的图象特征,判定方程 0152 3???xx 是否存在实数根. 分析: 要判定方程 0)(?xf 是否有实根, 即判定对应的连续函数)(xfy?的图象是否与x 轴有交点, 因此只要找到图象上的两点, 满足一点在 x 轴上方, 另一点在 x 轴下方即可. 解: 设152)( 3???xxxf ,则) xf( 是R 上的连续函数. 又038 )3(,1)0(?????ff , 因此在?? 0,3?内必存在一点 0x ,使0)( 0?xf , 所以 0x 是方