随机过程9(2.4).ppt

§4均方积分 1. 均方积分的定义设{ X(t),t ∈[a,b ]}是二阶矩过程, f(t,u)是[a,b ] ×U上的普通函数,对区间[a,b ]任一划分 0 1 n a t t t b ? ????? 1 , 1, 2, , ) k k k t t t k n ?? ????( 记 1 [ , ], 1, 2, , k k k t t n tk ??? ??任取 ( ) 作和式 1 ( , ) ( ) , k k nkk t t f u X t H ? ??? ??如果以下均方极限存在 01 . . ( , ) ( ) n k k k k l i m f t u X t t ? ?????? 1 max k k nt ? ??? ?令该均方极限值 Y(u)称为{ ( , ) ( ), [ , ]} f t u X t t a b ?在[a,b] 上的均方积分. kt ?且此极限不依懒于对[ a,b ]的分法及的取法,则称{ ( , ) ( ), [ , ]} f t u X t t a b ?在[a,b] 上均方可积. ( , ) ( ) , ba f t u X t dt ?记为即( , ) ( ) , ( ) ba f t u X t dt u YU u ? ??{ ( ), } { ( , ) ( ) [ , ] , [ , ]} a Y u u U f t u X t t a b b ? ?称 为 在上的均方积分过程. 特别当f(t,u )=1 时, { ( ), [ , ]} X t t a b ?在[a,b] 上的均方积分是一个二阶矩变量,即( ) ba Y X t dt ??可用与通常的微积分一样的方法来定义广义均方积分( , ) ( ) . . ( , ) ( ) b a a b f t u X t dt l i m f t u X t dt ?????? ?( , ) ( ) . . ( , ) ( ) b b aa f t u X t dt l i m f t u X t dt ?????? ? { ( ), , ] }[ X t t a b ?是二阶矩过程, f(t,u)是[ , ] a b U ?上的普通函数,则{ ( , ) ( ), [ , ]} f t u X t t a b ?在[a,b] 上均方可积的充分条件是下列二重积分存在( , ) ( , ) ( , ) b b a a X f s u f t u R s t dsdt ? ?证明( , ) ( , ) ( , ) [ ] [ , ] X f s u f t u R s t a b a b ?, 因为 在上二重积分存在则对[ a,b ] ×[ a,b ]的任一分割 0 1 nb t t t a ? ??? ?? 0 1 mb s s s a ? ??? ?? 1 1 , [ , ] [ , ] , 1, 2, , ) k k k l l l s s t m s k l n tt ? ?? ?? ??? ?以及任取的( =1 (,),有( , ) ( , ) ( , ) b b X a a f s u f t u R s t dsdt ? ? 0 1 1 0 lim ( , ) ( , ) ( , ) k st m n X l k k l k l l f u f u R s s t s t t ??? ????? ??? ????(存在) 0 1 1 0 lim [ ( , ) ( , ) E ( )] t k s m n k l k k l l l f u X f u X s t