第十章 第5节 对坐标的曲面积分.ppt

1第五节对坐标的曲面积分一. 有向曲面及曲面元素的投影?曲面分类???双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧 2 其方向用法向方向余弦? cos? cos? cos > 0 为前侧< 0 为后侧封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧> 0 为上侧< 0 为下侧外侧内侧?设?为有向曲面, yxS)(? S???????? yxS)( 侧的规定?指定了侧的曲面叫有向曲面, 量指向表示:其面元在 xoy 面上的投影为,0)(?? yx?记 yxS)(?的面积为则规定,)( yx??,)( yx???,0 0 cos ??当时 0 cos ??当时 0 cos ??当时 3二、概念的引入实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量v ?, 有向平面区域 A, 求单位时间流过 A 的流体的质量?( 假定密度为 1).A v ? 0n ??AAvnvA vA??????????? 0 cos ?流量 4 (2) 设稳定流动的不可压缩流体( 假定密度为 1) 的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv ????),,(),,(),,(),,(???给出, Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数),,( ),,,( ),,,(zyxRzyxQzyxP 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量?.x y zo ? 5x y zo ?? iS?),,( iii??? iv ? in 0? 1. 分割则该点流速为. iv ?单位法向量为. in 0?求解方法 6? iS? iv ?x y zo ?),,( iii??? in 0?,),,(),,(),,( ),,(kRjQiP vv iiiiiiiii iiii ????????????????????该点处曲面Σ的单位法向量kjin iiii??????? cos cos cos 0???, 、近似 2 通过is?流向指定侧的流量的近似值为).,,,(ni Snv i ii???21 0???3. 求和通过Σ流向指定侧的流量?????? ni i iiSnv 1 07 iiiii iiii ni iiiiSR QP??????] cos ),,( cos ),,( cos ),,([ 1???????????? xy iiiixziiii yz ni iiii SRSQSP ) )(,,() )(,,() )(,,([ ????????????????? 0??. 的精确值取极限得到流量?,),,(),,(),,(kRjQiPv iiiiiiiiii ????????????????kjin iiii??????? cos cos cos 0???,?????? ni iiiSnv 1??]) )(,,( ) )(,,() )(,,([ lim xy iiii xziiii yz ni iiiiSR SQSP??????????????????1 0xy iiii ni xziiii ni yz ni iiiiSR SQ SP) )(,,( lim ) )(,,( lim ) )(,,( lim???????????????????????????1 0 1 0 1 0 8 定义设Σ为光滑的有向曲面, 函数在Σ上有界, 把Σ分成n 块小曲面 iS?(iS?同时又表示第i 块小曲面的面积),iS?在 xoy 面上的投影为 xy iS)(?,),,( iii???是iS?上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 0??时,三、概念及性质 9 记作??? dxdy zyxR),,( ,即???????? ni xyiiiiSRdxdy zyxR 1 0) )(,,( lim ),,(????被积函数积分曲面类似可定义???????? ni yziiiiSP dydz zyxP 1 0) )(,,( lim ),,(???????????? ni zxiiiiSQ dzdx zyxQ 1 0) )(,,( lim ),,(????10 存在条件: 当),,( ),,,( ),,,(zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面Σ上连续时, : dxdy zyxR dzdx zyxQ dydz zyxP),,(),,(),,(??????记物理意义:dxdy zyxR dzdx zyxQ dydz zyxP),,(),,(),,(???????????dxdy zyxR),,( ???? dydz zyxP),,( ??? dzdx zyxQ),,( ????记为为闭曲面时当,. ),( ),,(),,(),,( 指定一侧的流量单位时间流体流向密度为的流体中表示在速度为????1 k