第四章复变函数级数.docx

第四章复变函数级数( 42 ) 一、内容摘要 1. 复数列的极限: 设有复数列?? nz , 若存在复数 z , 对于任意的 0??, 总有数 N >0, 使数列序数 Nn?时总有???zz n, 则称复数 z 为数列?? nz 的极限, 或者说数列?? nz 收敛于 z ,记作: lim nn z z ???由于 nnn ivuz??, ivuz??,当 lim nn z z ???式成立时, 等价于 lim , nn u u ??? lim nn v v ??? 1 nnz ???收敛的充要条件是 1 nnu ???和 1 nnv ???都收敛。 2. 复数级数(定义): 设有复数项级数????????? kk nzzzz 211若其前 n 项和 nnzzzS???? 21构成的数列?? nS 收敛,则称级数 1 nkz ???收敛,而数列?? nS 的极限 S 叫做级数 1 nkz ??? 1 nkz ???发散。由于?????? nk k nk knviuS 11, 所以 11 lim lim lim nknknn nknk u u S S u iv v v ????????????? ??????????; 绝对收敛:若一个级数的模级数???1k kz 收敛,则称级数???1k kz 是绝对收敛;若收敛级数的模级数不收敛,则称条件收敛。 )(zf k(?,2,1,0?k )区域 G内都有定义,则定义复变函数项级数: ???????? 0 10)()()()( k k kzfzfzfzf??,其中前 n 项和: ??? nk knzfS 0)( 。若对于 G内某点 0z ,极限 lim nn s S ???存在,则称复变函数项级数在点 0z 收敛,s G内处处收敛,其和必是一个复函数:???? 0)()( k kzfzs . 则?? s z )称为级数 0 ( ) kk f z ???的和函数。定义:如果对于任意给定的 0??,存在一个与 z 无关的自然数 N ,使得对于区域B 内(或曲线 L上)的一切 z 均有:当 n N ?时, 1 | ( ) | n p k k n f z ??? ???(p为任意正整数) 则称级数 0 ( ) nn f z ???在B 内(或曲线 L上) 一致收敛。一致收敛级数的主要性质:1) 连续性:若( ) k f z 在区域 B内连续,且 0 ( ) kk f z ???在B内一致收敛于?? S z , 则和函数?? S z 在B内连续。 2) 逐项可积性:设级数 0 ( ) kk f z ???在曲线 l上一致收敛于?? S z ,且各项均在 l 上连续,则沿 l可逐项积分,且: 0 ( ) ( ) l l k S z dz f z dz ????? ?。 3) 逐项可导- Weierstrass 定理:设( ) f z?各项在区域 B内均解析,且在 B 内的任一闭子域上一致收敛于?? S z ,则(i)和函数?? S z 在B内解析。( ii)在B内级数可逐项求导至任意阶,且( ) ( ) 0 ( ) ( ) n n kk S z f z ????. 4)M 判别法(Weierstrass 判别法):若在区域 B内??( ) 0 k k k f z M M ? ?,而 0 kkM ???收敛,则由( ) k f z 构成的级数在 B内绝对且一致收敛。 4. Abel 第一定理:若级数???0k kkzc 在 0 ( 0) z z ? ?处收敛,则在以原点为中心以 0z 为半径的圆内绝对收敛,即在所有满足条件 0zz?的z 处绝对收敛;若级数在 0 ( 0) z z ? ?处发散,则在上述圆外发散,即在所有满足条件 0zz?的z 处发散;在 0 z z ?处不定。 Abel 第一定理中所说的圆叫做幂级数的收敛圆,收敛圆半径叫做收敛半径。关于收敛半径有下面的定理。定理( 比值法):若 1 lim 0 ????? ?,则收敛半径? 1?R . 定理( 根值法):若 lim kkkc????,则收敛圆半径? 1?R . 5. Taylor 定理:若复变函数)(zf 在以 0z 为中心的某个圆内解析,对圆内任一点z ,)(