线性方程组求解__直接法.ppt

解线性方程组的直接法?引言?消元法: Gauss 消元法?消元法:列主元素消元法? LU 分解:求解三对角方程组的追赶法?误差分析 引言?小行星轨道问题: 天文学家要确定一小行星的轨道,(一天文单位为地球到太阳的平均距离: 9300 万哩),对小行星作 5次观察, 测得轨道上 5个点的坐标数据如下: x y 椭圆的一般方程: a 1x 2 + a 2 xy + a 3y 2 + a 4 x + a 5 y + 1 = 0 将数据逐个代入,可得五个方程的方程组,求解该线性方程组即可得行星轨道方程。对一般线性方程组: A x = b, 其中 引言????????????? nn nn n naaa aaa aaaA??????? 21 222 21 112 11????????????? nb b bb? 2 1????????????? nx x xX? 2 1 由以前所学内容知,当且仅当矩阵 A行列式不为 0时, 即A非奇异时,方程组存在唯一解,可根据克莱姆法则求解,其算法设计如下: ?(1) 输入系数矩阵 A和右端向量 b; ?(2) 计算系数矩阵 A的行列式值 D,如果 D=0 ,则输出错误信息,结束,否则进行第(3) 步; ?(3) 对 k=1,2, ··· ,n,用b替换 A的第 k列数据,并计算替换后矩阵的行列式值 D k; ?(4) 计算并输出 x 1 = D 1 / D ,x 2 = D 2 / D , ···· ,x n=D n /D, 结束。?但克莱姆法则只适用于低阶方程组,高阶方程组工作量太大,故一般用数值方法求解。数值方法分两类: ? 1. 直接法? 2. 迭代法 Gauss 消元法?基本思想: 逐步消去未知元,将方程组化为与其等价的上三角方程组求解。?分两步: ?第一步: 消元过程,将方程组消元化为等价的上三角形方程组; ?第二步: 回代过程,解上三角形方程组,得原方程组的解。?????????????????)1()1( )1(2 )1(22 )1(22 11212 1 11nnn n nn nn nnbxa bxaxa bxaxaxa??????? Gauss 消元的目的 a 11x 1 + a 12x 2+ ···· + a 1nx n = b 1a 21x 1 + a 22x 2+ ···· + a 2nx n = b 2 ······································ ···a n1x 1 + a n2x 2+ ···· + a nnx n = b n原始方程组约化方程组注意:引入符号的上标含义消元过程(化一般方程组为上三角方程组) ?以四阶为例: 其系数增广矩阵为: ??????????????????????? 44 44 3 43 2 42 1 41 34 34 3 33 2 32 1 31 24 24 3 23 2 22 1 21 14 14 3 13 2 12 1 11bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa??????????????? 444 43 42 41 334 33 32 31 224 23 22 21 114 13 12 11baaaa baaaa baaaa baaaaA ?第一轮消元: ?计算 3个数: [m 21m 31m 41] T = [ a 21a 31a 41] T / a 11 ?用-m 21乘矩阵第一行后加到矩阵第二行; ?用-m 31乘矩阵第一行后加到矩阵第三行; ?用-m 41乘矩阵第一行后加到矩阵第四行; 其系数增广矩阵变为: 消元过程(化一般方程组为上三角方程组)???????????????)()()()( )()()()( )()()()()( 14 144 143 142 13 134 133 132 12 124 123 122 114 13 12 11 1baaa baaa baaa baaaaA )0( 11?a ?第二轮消元: ?计算 2个数: [m 32m 42] T = [a 32 (1)a 42 (1)] T / a 22 (1) ?用-m 32乘矩阵第二行后加到矩阵第三行; ?用-m 42乘矩阵第二行后加到矩阵第四行; 其系数增广矩阵变为: ???????????????)()()( )()()( )()()()()