计算流体力学 第2讲差分方法1.ppt

2017-2-23 第二讲第二讲有限差分法( 有限差分法( 1 1) ) 李明军湘潭大学数学与计算科学学院数学楼 315 ; 52377625 email: alimingjun@ 计算流体力学讲义第第2 2节节差分方法理论基础差分方法理论基础第第0 0节节前言前言第第1 1节节有限差分法基本概念有限差分法基本概念 2017-2-23 第第0 0节节前言前言(1) 有限差分法研究背景(2) 研究 CFD 的手段研究 CFD 的理论手段研究 CFD 的实验手段研究 CFD 的计算手段 2017-2-23 传统计算方法: 有限差分法, 有限体积法,有限元法, 谱方法(谱元法)等; 最近发展的方法: 基于粒子的算法(格子-Boltzmann, BGK ),无网格优点缺点适用范围有限差分法简单成熟,可构造高精度格式处理复杂网格不够灵活相对简单外形的高精度计算有限体积法守恒性好,可处理复杂网格不易提高精度(二阶以上方法复杂) 复杂外形的工程计算有限元法基于变分原理,守恒性好对于复杂方程处理困难多用于固体力学等谱方法精度高外形、边界条件简单简单外形的高精度计算 LBM 方法算法简单,可处理复杂外形精度不易提高复杂外形的工程计算(1) 有限差分法研究背景 3 Copyright by Li Mingjun 2017-2-23 4 流体力学理论研究实验研究数值研究计算流体力学(数值计算技术、计算方法研究) 理论研究: 格式推导、稳定性分析, 精度及误差分析, ……数值实验: 采用实际问题考核方法的正确性数值研究: 采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性/分辨率……“计算流体力学”作为一个学科, 其研究手段依然包括理论、实验及数值模拟。 Copyright by Li Mingjun 2017-2-23 与的依赖关系 5 (2) 研究 CFD 的手段例: Fourier 分析线性系统: 线性方程+ 线性格式任意函数都可分解为三角函数的叠加差分系统(解差分方程) 初始值数值解(特定时刻离散的函数值) jjuv??记为: 是差分算子,把离散函数(有限点列) 映射为另一个离散函数?}{ ju}{ jv?? k ikx kj jeuu ??? k ikx kj jevv ?} ?{ kv} ?{ ku {v i } 与{u i}的依赖关系线性系统,可大为简化波数空间单一的依赖关系: ) ?( ? kkufv?),......) ?( ?), ?( ?( 2211ufvufv??原理: 线性系统,输入一个波,只能输出一个波(且波数不变)。非线性系统会产生多个谐波线性差分系统: 针对一个单波,研究经过差分系统后的变化就可以了解该系统。 Fourier 误差分析; Fourier 稳定性分析?理论分析的局限性: 对于复杂系统(非线性方程、非线性格式)非常困难 Copyright by Li Mingjun 研究 CFD 的理论手段 2017-2-23 6 研究 CFD 的实验手段: 例: 精度分析思想: 通过具体算例来研究(考核,分析…)差分方法典型的文章: 提出方法+理论分析+ 算例验证 dx du 差分离散 jxjuF??理论方法, Taylor 展开,求余项。对于复杂(如非线性)格式,难度大。实验方法,通过算例考核精度) cos( ) sin( xdx du xu???精确解:) cos( jjxF err ?? j?为该离散函数的模?? j jj?? 1?? j jjN 221?? jj j?? max ??计算误差:分析误差对网格步长的依赖关系 x? lg err lg斜率为精度的阶数(通常用最小二乘法计算) ?? lg lg lg??????xn err x err n斜率为精度的阶数 n Copyright by Li Mingjun 常用的模: 1 模: 2 模: 无穷模: 2017-2-23 7 常用的验证算例( “实验验证”) 考核方法通常找一些难度大的(条件苛刻、极端)的算例。否则, 无法突出方法的优越性。 1维算例: Shu-Osher Sod 激波管, 方波/尖波…… Shu-Osher 问题的计算结果( Li et al. Init. J. Num. Fluid. 2005) ?航空领域权威的考核算例—— DPW 标准计算模型 Copyright by Li Mingjun 2维算例: 前/后台阶、双马赫反射、二维 Riemann 问题、 RT 不稳定性问题、翼型扰流、圆柱绕流 3维复杂算例: 各向同性湍流的 DNS, 槽道湍流的 DNS, 激波-边界层干扰的 DNS 2017-2-23 8 研究 CFD 的计算手段例: 差分格式构造理论方法: 手工推导系数(工作量大) 数值