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计量经济学讲义第四讲趋势和 DF 检验(修订版) 此翻译稿制作学****之用,如有错误之处,文责自负。趋势平稳序列( TS ) (图 1和2) 一个趋势平稳序列绕着一个确定的趋势(序列的均值) ,其波动幅度不显示增大或者减小的趋势。线性确定性趋势: ttty??????),0(~ 2?? iid t t=1,2, …平方确定性趋势: tttty???????? 2),0(~ 2?? iid t t=1,2, …通常: tttfy???)(),0(~ 2?? iid t t=1,2, …均值是是随时间变化的(川) ,但是方差是常数。 t?可以为任意平稳序列,也就是说, 不一定要是白噪声过程。通过拟合一个确定的多项式时间趋势, 趋势可以来消除: 拟合趋势后残差将给出一个去趋势的序列。一个带线性确定性趋势 AR (1 )过程可以写作: t1-t1t)1)-t(y(ty????????????),0(~ 2?? iid t t=1,2, …此处确定性趋势被 ty 减去。然而在实践中, ?、?是未知的而且必须估计出来。于是模型可以被重述为: t1-t1111tyt)1()1(y???????????????其中包含一个截距和一个趋势,也就是 t1-t1 **tyty????????此处????? 11 *)1(???且???)1( 1 *??若1|| 1??,那么此 AR 过程就是围绕一个确定性趋势的平稳过程. 差分平稳序列( DF ) (也叫单整序列)和随机性趋势如果一个非平稳序列可以由一个平稳序列通过 d 次差分得到, 那么我们说这个序列就是 d 阶单整的,写做 I(d). 这一过程也因此叫做差分平稳过程( DSP ). 因此,平稳序列就是零阶单整的, I(0) 。白噪声序列是 I(0)。所以如果序列 t dtyw??是平稳的,那么 ty 就是 I(d)。?是差分算子,即等等 2-t1-tt2-t1-t1-tt1-tttt 21-ttty2y y)yy()yy()yy(yy,yyy?????????????????如果序列 1-ttttyyyw????是平稳的话, ty 是I(1); 如果序列 2-t1-ttt 2ty2y yyw?????是平稳的, ty 是I(2), 版权所有不得复制随机游走(图 3) ty 是随机游走的,如果满足 tttyy????1 此处),0(~ 2??? iid t 这是一个 AR (1 )过程,且在 tttyy?????1 中具有根 1??这一序列被称为具有单位根, 或者叫做 1 阶单整, I(1)。注意: tttyy??????t1y 假设此过程在 t=0 起始处有一个确定的值 y0. 那么, 101???yy 210212????????yyy ……????????? t1 0t2102... ??????yyy (1) 注释: (a) 在( 1 )式中, y t 被表示为初始值 y 0 和一个序列的局部的和?? t1???(即所谓的随机趋势)。所有随机冲击?对序列 y t 都有永久的影响, 它们可以永久的改变 y t 的水平, 而在平稳序列中,冲击的影响会随着时间的流逝而趋向于零。因此,称随机游走具有一个随机趋势。(b) E(y t) =y 0 +t*0= y 0[ 定值] Var(y t )= Var(?? t1???)=t