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§ 利用导数研究函数 200 8 /11/ 17 一、单调性 ,),( ],,[babaCf?).,( ),0(0)()(],[baxxfbaf?????减上递增在证明: )( 必要性?,?f?,0 )()(:???h xfhxf 总有).,(,0)(baxxf????,),( ),,(hbahxbax的以及使得对?????)( 充分性?),,(,0)(baxxf????可得且对,)(],[, 2121xxbaxx????.??f,0) )(()()( 1212?????xxfxfxf? 1: ),,(,0)(,),( ],,[baxxfbabaCf????若可导在.],[ 上严格递增在则baf 证明: )(?类似上面,]1,1[, 3 严格增在??xy 3xy?.03)( 0 2????xxxf但定理 2:,),( ],,[ 内除有限个点外在babaCf?则,0)(??xf.],[ 上严格增在baf 证明: 仅以一点为例:.0)(, 1??xfx 处之外.],[,],[ 11 上严增上严增 bxxa?.],[ 上严增在ba??a 1xb 有限个点类似定理 3:则可导,),( ],,[babaCf???????????.)(,),(2 );,(,0)(1 不恒为零的任意子开区间内在xfba baxxf)0)( ),,( ),,(),(:2(?????????fdcbadc使可表述为证明: )( 必要性?.1),(0)(, 成立严增???????baxxff?,2 不成立若?严增在],[baf?).,(,0)( ),,(),(dcxxfbadc?????使,,),( 严格增矛盾与上恒为常数在fdcf?.2 成立??),()(, ],,[, 212121xfxfxxbaxx???使若有).,(,)( 21xxxcxf?? ),,(,0)( 21 矛盾与?????xxxxf. 严格增 f?)( 充分性?.],[,1增在成立 baf??? .)1( arctan 2 的单调区间求 xexy ????解: x xex xey arctan 22 arctan 21 1)1( ?????????.1,0,0 21?????xxy 得驻点令 xex xx arctan 22 21 ?????增减增),0( )0,1[ ]1,( ??????? xy ?y ???00 ?? 1?0 :原理:??????????).()(, ).()(,0)( 00 00xfxfxx xfxfxxxf .1 sin 2,2 ,0:)1(????????x x??上在求证证明: . sin 2:, sinx xxx???只需证显然?????????0,1 2 0, sin )(x xx xxf ?令].2 ,0[)( ?Cxf? ,0,0) tan ( cos sin cos )( 22???????????????xxxx xx xxxxf而, 22?????????f而. 2)2 ()( sin?????fxfx x .]2 ,0[)( 上严格递减在区间?xf?,2 时故当??x .,0!!1 1)2( 成立对求证???????Nnxn xxe nx?证明: ).1(1)(???kxei x,1)(???xex x?)0()(,0xexx x?????即时故当??)( 归纳法,01)(,0????? xexx?时可见当, 严格增??,)( 时成立设nk ii?.!!1 1n xxe nx?????即:1)(时考察??nk iii] )!1(!!1 1[)( 1????????n xn xxex nnx??,0]!!1 1[)(???????n xxex nx??.0)0()(?????x .)( 严格增 x??. 证毕