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山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂第十节闭区间上连续函数的性质一、最值定理二、介值定理山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立. 一、最值定理定理 : 设,],[)(baCxf? x o yab )(xfy? 1? 2?则,],[, 21ba????使)( min )( 1xff bxa????)( max )( 2xff bxa????(证明略)点, 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂例如,)1,0(,??xxy 无最大值和最小值 x o y1 1???????????????21,3 1,1 10,1)(xx x xxxfx o y1 12 2 也无最大值和最小值又如, 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂],[)(baxf在因此 bx o ya )(xfy? 1? 2? m M 1 可知有,)( max ],[xfM bax??)( min ],[xfm bax??,],[bax??故证:设,],[)(baCxf?,)(Mxfm??、介值定理定理 2. ( 零点定理),],[)(baCxf?至少有一点,),(ba??且使x yo ab )(xfy??.0)(??f 0)()(?bfaf ( 证明略) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂定理 3. ( 介值定理) 设,],[)(baCxf?且,)(Aaf?,,)(BABbf??则对 A与B之间的任一数 C , 一点,),(ba??证:作辅助函数 Cxfx??)()(?则,],[)(baCx??且)()(ba??) )((CBCA??? 0?故由零点定理知, 至少有一点,),(ba??使,0)(???即.)(Cf??推论:Ab x o ya )(xfy?BC?使.)(Cf??至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值. 山东农业大学高等数学主讲人: 苏本堂例1. 证明方程 014 23???xx : 显然,]1,0[14)( 23Cxxxf????又,01)0(??f 02)1(???f 故据零点定理, 至少存在一点,)1,0(??使,0)(??f 即014 23?????说明:, 2 1?x,0)( 8 12 1??f 内必有方程的根;)1,( 2 1 取]1,[ 2 1 的中点, 4 3?x,0)( 4 3?f 内必有方程的根;),( 4 32 1?可用此法求近似根. 二分