快速傅里叶变换FFT的用途.doc

谈谈 FFT 到底有何用 FFT (快速傅里叶变换)是数字信号处理的经典算法,学过 DS P 或者芯片设计的人大多知道这个算法。但是, 大家是否想过, 为什么数字信号处理会有那么多 FFT 呢?有人会说, 为了分析信号的频谱。那么下边的问题就是,分析频谱对我们的日常需求,比如手机打电话,雷达测量速度和方向等等一些与实际需求有什么联系?为什么 FFT 如此重要?本文举一些简明的例子,阐释一下 FF T 到底有什么用。先回忆一下 FFT 是什么。上世纪 70 年代之前, 我们主要通过模拟电路来进行信号处理, 比如大家熟悉的用二极管和电容进行 AM 调制信号的包络检波一样,随着数字系统的普及,我们可以用处理器或者数字电路更为精确的处理信号,比如我们做 AM 检波,实际上可以用载波把信号混频(与余弦函数做乘法), 再进行低通滤波, 那么这个过程可以用数字电路的乘法器和 F IR 滤波器来做, FI R 比二极管和电容构成的低通滤波器阶数高的多,性能自然更为理想,同时,由于数字电路易于做成集成电路,因此我们更多地是将原先的模拟信号(比如麦克风的音频)通过模拟- 数字转换器,转换为数字值后进行处理。这样的系统有几个问题,一个是信号需要被采样, 其次是信号被分成若干量阶。信号被采样,也就意味着我们得到的不是原先的连续的信号了,而是一个离散的一些采集的样点。那么对时域信号进行采样,必然造成频谱的周期化,如果原先频谱仅限于有限的带宽,那么周期化之后,只要周期大于原先的带宽,那么实际上没有混叠失真。而数字电路限制我们只能进行乘加等二进制域的计算, 获得另一些离散的点, 因此我们不得不将频谱也进行“采样”,频域的抽样导致时域上又周期化了,好在如果我们只取有限的长度,可以假定没采集的部分进行的是周期化延拓(由于平稳系统认为信号可以分解为正余弦函数的组合,而正余弦函数是可以周期延拓的,所以这个假设没有问题) ,那么我们得到了时域和频域都是离散的周期延拓的点集。既然是周期延拓的, 那么延拓的部分和主值区间( 靠近 0的那个周期) 是重复的数值, 因此我们只保留主值区间的部分, 这样的时域点集到频域点集的变换关系叫离散傅里叶变换( DFT )。然而它的运算过于复杂,因此库里和图基( Coo ley, Tukey )两人力图化简它,找到了这个算法的一些内在运算规律,得到的运算量由原来的平方级降为 NlogN 级, 这个算法就叫按时间抽取快速傅里叶变换, 桑德和图基研究按频率抽取也可以得到类似的低复杂度算法, 这类算法统称快速傅里叶变换( FF T), FFT 的计算结果和 DF T 是完全等价的,只是运算量降低了。又由于时频变换能量不变( Parseva l 定理) ,所以频域的绝对数值没有意义了, 只要获得相对数值即可,因此数字系统中的量化阶数以及数字系统溢出后的缩放调整对 FF T 的计算结果影响仅在于精度,而不是对错, 从而, FFT 正好满足数字系统可以处理的前提, 同时运算复杂度不高, 因此获得了广泛的应用。那么, 模拟系统能不能做类似的 FFT 呢?可以, 构造与频点数量相同个数的带通滤波器,组成一个阵列, 信号进入这个带通滤波器组,每个滤波器只保留了相应频点为中心的类似于 sinc 的频响函数,那么就可以得到 FFT 的结果。当然, 这个代价不是一般的系统可以负担的。